24.(16分)某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池,并在水池中央垂直安装一个柱子OP,柱子顶端P处装上喷头,由P处向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下(如图所示)。若已知OP＝3米,喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米,离柱子OP的距离为1米。 (1)求这条抛物线的解析式；
(2)若不计其它因素,水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不至于落在池外。
25.(18分)二次函数y?
125
x?x?6的图象与x轴从左到右两个交点依次为A.B,与y轴交于点C, 42
(1)求A.B.C三点的坐标；
(2)如果P(x,y)是抛物线AC之间的动点,O为坐标原点,试求△POA的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；
(3)是否存在这样的点P,使得PO=PA,若存在,求出点P的坐标；若不存在,说明理由。
参考答案
一.选择题 二.填空题
11. -1 12.答案不唯一,只要符合题目要求,即可. 例如:
y?(x?2)2?3
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bb1b22
13. ?;(?,c?). 14.(-2,-1);x?2; y?3(x?2)?1 15. a?;b?4;三.四
2a2a24a
三.解答题
16.A点作标为(-1,0).(3,0) ??6分 B点作标为(-2,5) ??8分 17.解析式答案不唯一,只要符合题目要求,即可. 例如:
y??(x?1)(x?3),?4分 对称轴为x?1?7分
18. 函数的解析式为
y?x2?4x?4 ；??5分 顶点坐标为(2,0)??8分
2
19.依题意有 方程(m?1)x?2x?x?1没有实数解??3分
4
??8分 5
故其根的判别式 1?4(m?1)?0,??5分 解得m?20.函数的解析式为
y?
1
(x?3)2?2 ??5分 作图(略) ??9分 当x?3时y随x的增大而增大??12分 2
?y?x?3?x1?0?x2?1
21.解方程组 ?得 ,?4分 不妨设A.B两点的坐标分别为(0,3).(1,4),?6分 ??2
y?3y?4?2?y??x?2x?3?1
则OA长为3,从B点到OA的高为1。??8分 所以有S?ABC22.关系式为:
?
13
?3?1?(平方单位)??10分 22
y?60(1?x)2??3分 当x?10%时y?60(1?0.1)2?48.6 ??5分 答(略)??6分
x)?6000 ??3分
10?23. 设每千克水果应涨价x元, 依题意得方程: (500?20x)(
整理,得 x
2
?15x?50?0 解这个方程,得 x1?5,x2?10 ??5分
要使顾客得到实惠,应取x
?5 ??6分 即:每千克水果应涨价5元.
设每千克水果涨价x元,则商场获利y元
依题意有
y?(500?20x)(10?x) ??9分 y??20x2?300x?5000 ??20(x?
152
)?6125?11分 2
当每千克水果应涨价7.5元, 能使商场获利最多。??12分
24.解:(1)由图可知抛物线的顶点坐标为(1,4),??2分 可设抛物线解析式为
又知P点坐标为(0,3),把x
y?a(x?1)2?4 ??4分
?0,y?3代入上式解得a??1,??6分
]即抛物线解析式为
y??(x?1)2?4 ??8分 (2)由y?0代入解析式解得x1??1,x2?3 ?12分
可知抛物线交x轴正半轴于点(3,0),??14分
所以当水池的半径至少为3米,才能使喷出的水流不至于落在池外。??16分 25.解:(1)依题意,分别令x
?0及y?0可得A(4,0).B(6,0).C(0,6) ??6分
(2)因为P点在抛物线的第一象限上,所以点P到底OA的高h等于的其纵坐标y, 即h=
125
x?x?6 ??8分 则S42
△POA
=
11
OA?h?x2?5x?12 ??10分 22
自变量取值范围为0≤x<4 ??12分
(3) 存在。??13分 这样的P点必在OA的对称轴x
?2上,??14分 125
由x?2代入抛物线解析式y?x?x?6得y?2,??16分 故得P点坐标为(2,2)?18分
42
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《二次函数》同步检测(提高)湖北黄冈
一.精心选一选(每小题4分,共40分.每小题有４个选项,其中只有一个选项是符合题目要求的) 1.二次函数y=x+2x－7的函数值是8,那么对应的x的值是( ) A.3 B.5 C.－3和5 D.3和－5
2.若二次函数y=x－x与y=－x+k的图象的顶点重合,则下列结论不正确的是( ) A.这两个函数图象有相同的对称轴 B.这两个函数图象的开口方向相反 122
C.方程－x+k=0没有实数根 D.二次函数y=－x＋k的最大值为
2
2
3.已知二次函数y?ax?bx?c(a≠0)的图象如右图所示,则下列结论:①a.b同号；②当x=1和x=3时,函数值相
2
2
2
等；③4a+b=0；④当y=－2时,x的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.l个 B.2个 C.3个 D.4个
2
y?x?bx?c的部分图象如右图所示,若y<0,则x的取值范围是( ) 4.已知抛物线
A.-1<x<4 Ｂ.-1<x<3 Ｃ.x<-1或x>4 Ｄ.x<-1或x>3
5. 已知二次函数y=3(x-1)+k的图象上有三点A(2,y1),B(2,y2),C(-5,y3),则y1. y2.y3的大小关系为
A .y1.> y2> y3 B..y2> y1> y3 C .y3> y1> y2 D.y3> y2> y1 6.已知二次函数y?ax2?bx?c,且a?0,a?b?c?0,则一定有( )
A.b2?4ac?0 B.b2?4ac?0 C.b2?4ac?0 D.b2?4ac?0 7.已知抛物线y?x?(m?1)x?于(
A.2?5 B.2?5 C.2 D.?2
8.在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax+c的图象大致为( )
2
2
2
12
m?1(m为整数)与x轴交于点A,与y轴交于点B,且OA?OB,则m等4
9.小敏在某次投篮中,
球的运动路线是抛物线离l是(
A.3.5m B.4m C.4.5m D.4.6m
的一部分(如图),若命中篮圈中心,则他与篮底的距
10.用列表法画二次函数y?x?bx?c的图象时先列一个表,当表中对自变量x的值以相等间隔的值增加时,函数y所对应的函数值依次为:20,56,110,182,274,380,506,650。其中有一个值不正确,这个不正确的值是
( ).
2
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A. 506 B.380 C.274 D.182 二.耐心填一填(本大题共５小题,每小题４分,共20分)
11.平移抛物线y= x＋2x－8,使它经过原点,写出平移后抛物线的一个解析式 . 12.二次函数y=－x＋6x－5,当x 时, y?0,且y随x的增大而减小.
22
13.抛物线y＝2x+4x+5的对称轴是x=____ .
14.二次函数y??x?1??2的最小值是_____________.
15.如图是二次函数y1＝ax＋bx＋c和一次函数y2＝mx＋n的图象,观察图象写出y2≥y1时,x的取值范围______. 三.解答题(本大题共10小题,每题7分,共60分)
16.已知抛物线y=ax+bx+c经过A(－1,0).B(3,0).C(0,3)三点,
(1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标,并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线. (2)若点(x0,y0)在抛物线上,且0≤x0≤4,试写出y0的取值范围.
17.如图,已知抛物线过点A(―1,0).B(4,0).C?(1) 求抛物线对应的函数关系式及对称轴；
(2) 点C′是点C关于抛物线对称轴的对称点,证明直线y??4(x?1)必经过点C′。
3
2
2
2
2
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,??55??
18.某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:若日销售量y(件)是销售价x(元)的一次函数.
(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数解析式；
(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元？此时每日的销售利润是多少元？
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