数字1

音乐上许多发展乐思的手法，如重复、变奏、衍生、展开、对比等等，有时强调统一，有时强调变化，综合起来，就是在统一中求变化，在变化中求统一。单音是音乐中最小的“细胞”，一个个单音按水平方向连结成为旋律、节奏，按垂直方向纵合成为和弦，和声。乐段（一段体）是表达完整乐思的最小结构单位。

数字2

巴洛克、古典、浪漫派音乐使用大小调调式体系，形成音阶与和声学的二元论（dualistic theory）。

数字3

三个音按三度音程叠置成为各种各弦。三和弦是最常用的和声建筑材料。爱因斯坦认为不管是音乐家还是科学家都有一个强烈的愿望，“总想以最适合的方式来画出一幅简化的和易于领悟的世界图像。”

数字4

人声天然地划分为四个声部，任何复杂的多声部音乐作品都可以规范为四部和声。我们平时所弹奏的钢琴作品的曲式结构，大多数都是“古典四方体”方整结构，即4+4+4+4?? ，4小节为一乐句，8小节为一乐段。 数字5

五度相生律（毕达哥拉斯律）及五度循环揭示了乐音组织的奥秘，而和声五度关系法则是构筑和声大厦的基石。 数字6

六和弦、六声音阶、一个八度之内有六个全音，常用的调是主调及其五个近关系副调。

数字7

更显神秘莫测，常用的七声音阶由七个音级组成，巴洛克时期以前采用中古教会七种调式，19世纪民族乐派之后中古教会七声调式部分地得到复兴。

数字0

除去数字1-7之外，音乐中数字0是不可或缺的音符。在数学中，0表示什么都没有，而在音乐中，0表示停止所有的声音，给人一个想象和会问的空间，增添了抑扬顿挫的美感。所谓的“别有忧愁暗恨生，此时无声胜有声”！

数字8

在记谱时，为了方便同样的旋律平移8度之后来演奏，会给人耳目一新的感觉，在表

现灵动或者说低沉是不可或缺，所以不管在简谱还是五线谱中，数字8都有很广泛的应用。

2.2 音阶中的数学原理

学习音乐总是从音阶开始，我们常见的音阶有7个基本音组成：

用7个音以及比它们高一个或几个八度的音，低一个或几个八度的音组成各种组合就是“曲调”。7声音阶按“高度”自低向高排列，要搞清音阶原理，知道什么是“音高”，音与音之间的“高度差”是多少。

2.2.1音高

振动的快慢在物理学上用频率表示，频率定义为每秒钟物体振动的次数，用每秒振动 1 次作为频率的单位称为赫兹。频率为 261.63 赫兹的音在音乐里用字母 c1 表示。相应地音阶表示为

c, d, e, f, g, a, b

在将 C 音唱成“do”时称为 C 调。

频率过高或过低的声音人耳不能感知或感觉不舒服，音乐中常使用的频率范围大约是 16~4000 赫兹，而人声及器乐中最富于表现力的频率范围大约是 60~1000 赫兹。 在弦乐器上拨动一根空弦，它发出某个频率的声音，如果要求你唱出这个音你怎能知道你的声带振动频率与空弦振动频率完全相等呢？这就需要“共鸣原理”：当两种振动的频率相等时合成的效果得到最大的加强而没有丝毫的减弱。因此你应当通过体验与感悟去调整你的声带振动频率使声带振动与空弦振动发生共鸣，此时声带振动频率等于空弦振动频率。

人们很早就发现，一根空弦所发出的声音与同一根空弦但长度减半后发出的声音有非常和谐的效果，或者说接近于“共鸣”，后来这两个音被称为具有八度音的关系。我们可以用“如影随形”来形容一对八度音，除非两音频率完全相等的情形，八度音是在听觉和谐方面关系最密切的音。

18 世纪初英国数学家泰勒（Taylor，1685-1731）获得弦振动频率f的计算公式：

l 表示弦的长度、T 表示弦的张紧程度、ρ 表示弦的密度。

2.2.2高度差子

假定一根空弦发出的音是do，则二分之一长度的弦发出高八度的 do；8/9 长度的弦发出 re，64/81 长度的弦发出 mi，3/4 长度的弦发出 fa，2/3 长度的弦发出 so，16/27 长度的弦发出 la，128/243 长度的弦发出 si 等等类推。例如高八度的 so 应由 2/3 长度的弦的一半就是 1/3 长度的弦发出。

为了方便将 c 音的频率算作一个单位，高八度的 c 音的频率就是两个单位，而 re 音的频率是 9/8 个单位，将音名与各自的频率列成下表：

表 1

知道了 do, re, mi, fa, so, la, si 的数字关系之后，新的问题是为什么要用具有这些频率的音来构成音阶？实际上首先更应回答的问题是为什么要用 7 个音来构成音阶？

这可是一个千古之谜，由于无法从逝去的历史进行考证，古今中外便有各种各样的推断、臆测，例如西方文化的一种说法基于“7”这个数字的神秘色彩，认为运行于天穹的 7 大行星（这是在只知道有 7 个行星的年代）发出不同的声音组成音阶。我们将从数学上揭开谜底。

我们用不同的音组合成曲调，当然要考虑这些音放在一起是不是很和谐，前面已谈到八度音是在听觉和谐效果上关系最密切的音，但是仅用八度音不能构成动听的曲调──至少它们太少了，例如在音乐频率范围内 c1 与 c1 的八度音只有如下的 8 个：C2（16.35赫兹）、C1（32.7赫兹）、C（65.4赫兹）、c（130.8赫兹）、c1（261.6赫兹）、c2（523.2赫兹）、c3（1046.4赫兹）、c4（2092.8赫兹），对于人声就只有C、c、c1、c2这 4 个音了。

为了产生新的和谐音，回顾一下前面说的一对八度音和谐的理由是近似于共鸣。数学理论告诉我们：每个音都可分解为由一次谐波与一系列整数倍频率谐波的叠加。仍然假定 c 的频率是 1 ，那么它分解为频率为 1，2，4，8，?的谐波的叠加，高八度的 c 音的频率是 2，它分解为频率为 2，4，8，16，?的谐波的叠加，这两列谐波的频率几乎相同，这是一对八度音近似于共鸣的数学解释。

由此可推出一个原理：两音的频率比若是简单的整数关系则两音具有和谐的关系，因为每个音都可分解为由一次谐波与一系列整数倍谐波的叠加，两音的频率比愈是简单的整数关系意味着对应的两个谐波列含有相同频率的谐波愈多。

次于 2∶1 的简单整数比是 3∶2。试一试，一根空弦发出的音（假定是表 1 的 C，且作为 do）与 2/3 长度的弦发出的音无论先后奏出或同时奏出其效果都很和谐。可以推想当古人发现这一现象时一定非常兴奋，事实上我们比古人更有理由兴奋，因为我们明白了其中的数学道理。接下来，奏出 3/2 长度弦发出的音也是和谐的。它的频率是 C 频率的 2/3，已经低于 C 音的频率，为了便于在八度内考察，用它的高八度音即频率是 C 的 4/3 的音代替。很显然我们已经得到了表 1 中的 G（so）与 F（fa）。问题是我们并不能这样一直做下去，否则得到的将是无数多音而不是 7 个音！

如果从 C 开始依次用频率比 3∶2 制出新的音，在某一次新的音恰好是 C 的高若干个八度音，那么再往后就不会产生新的音了。很可惜，数学可以证明这是不可能的，因为没有自然数m、n会使下式成立：

(3/2) = 2

此时，理性思维的自然发展是可不可以成立近似等式？经过计算有 (3/2)5 = 7.594 ≈23 = 8，因此认为与 1 之比是 3/2 即高三个八度关系算作是同一音，而 (3/2 )6 与 (3/2)1 之比也是 23 即高三个八度关系等等也算作是同一音。在“八度相同”的意义上说，总共只有 5 个音，他们的频率是：

mn

1, (3/2), (3/2), (3/2), (3/2)

折合到八度之内就是： 1, 9/8, 81/64, 3/2, 27/16

对照表 1 知道这 5 个音是 C（do）、D（re）、E（mi）、G（so）、A（la），这是所谓五声音阶，它在世界各民族的音乐文化中用得不是很广，中国古代名曲《春江花月夜》、《梅花三弄》等绝大部分名曲都是五声音阶。

234

2.3音律的产生发展与数学的关系

根据 (3/2)7 = 17.09 ≈ 24 = 16，总共应由 7 个音组成音阶，我们在 上一节 的基础上用 3∶2 的频率比上行一次、下行一次得到由 7 个音组成的音列，其频率是

(2/3), 1, (3/2), (3/2)2, (3/2)3, (3/2)4, (3/2)5 折合到八度之内就是：

1, 8/9, 64/81, 3/4, 2/3, 16/27, 128/243