2②过圆?x?a???y?b??r上一点P?x0,y0?的切线方程是： 22
?x0?a??x?a???y0?b??y?b??r2.
要点十：空间直角坐标系
空间直角坐标系中坐标的求法：过该点作两条轴所确定平面的平行平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标．确定简单几何体的顶点坐标是今后正确运用坐标法解题的关键，必须要熟练且正确地掌握空间直角坐标系的建立与中点坐标的确定方法．
【典型例题】
类型一：直线方程的综合问题
例1．已知A(-m-3，2)，B(-2m-4，4)，C(-m，m)，D(3，3m+2)，若直线AB⊥CD，求m的值．
【思路点拨】两直线垂直?k1k2??1的前提条件是k1、k2均存在且不为零，所以这类问题应分斜率存在和不存在两种情况讨论．
【答案】1或-1
【解析】∵ A、B两点纵坐标不相等，
∴ AB与x轴不平行．
∵ AB⊥CD，
∴ CD与x轴不垂直，-m≠3，m≠-3．
①当AB与x轴垂直时，
-m-3＝-2m-4，解得m＝-1．
而m＝-1时，C、D纵坐标均为-1，
∴ CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．
②当AB与x轴不垂直时，由斜率公式
kAB?4?22?， ?2m?4?(?m?3)?(m?1)
3m?2?m2(m?1)?． 3?(?m)m?3
CDkCD? ∵ AB⊥CD，∴ kAB?k
即??1， 22(m?1)???1，解得m＝1． ?(m?1)m?3
综上，m的值为1或-1．
举一反三：
【变式1】已知l1：3x?2ay?5?0,l2:(3a?1)x?ay?2?0，求使l1//l2的a的值．
【答案】0或?
【解析】
解法一：当直线斜率不存在，即a?0时，有l1:3x?5?0,l2:?x?2?0，符合l1//l2； 1 6
直线斜率存在时，l1//l2??
故使l1//l2的a的值为0或?33a?11??a??． 2aa61． 6
11，故使l1//l2的a的值为0或?． 66解法二：由l1//l2?3?(?a)?(3a?1)?2a?0,解得a?0或?
例2．已知三条直线l1:2x?y?a?0(a?0)，l2:4x?2y?1?0，l3:x?y?1?0且l1与l
2的距离为 (1)求a的值．
(2)能否找到一点P，使得点P同时满足下列三个条件：①点P是第一象限点，②点P到l1、l3的
P到l1、l2的距离比是1:2．若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．
【思路点拨】用平行线间的距离、点到直线的距离公式求解．
【答案】（1）3 （2）P??
【解析】
(1)直线l2的方程变为2x?y??137??918?1?0， 2
∴ l1与2
的距离d?? ∴ a?17?，∵ a?0，∴ a?3． 22
(2)设P(x0，y0)，若点P满足条件③，则点P在与直线l1、l2平行的直线l?:2x?y?c?0上，
?1311，即c?或， 261311?0或2x0?y0??0． 26∴ l?为2x0?y0?
若点P满足条件②，由点到直线的距离公式得
? 解得x0?2y0?4?0或3x0?2?0(∵ 点P是第一象限点，∴ 不合题意，舍去)．
13?2x?y??0，?x0??3?002??联立方程 解得?1，舍去． ?x?2y?4?0，y0?0?0??2
1?11x?，???09?2x0?y0??0联立方程?， 解得? 637?y?.??x0?2y0?4?0?018?
∴ P??为同时满足三个条件的点．
【总结升华】本题综合性较强，用距离公式时要注意转化为方程的一般形式．
例3．求直线a:2x?y?4?0关于直线l:3x?4y?1?0对称的直线b的方程．
【思路点拨】1. 曲线的对称通常转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）．
2. 由平面几何知识可知，若a与b关于l对称，则应具有下列几何性质：
（1）若点A在直线a上，则A点关于l的对称点B一定在直线b上，即l为线段AB的垂直平分线（AB?l，AB的中点在l上）；
（2）设P(x,y)是所求直线b上一点，则P关于l的对称点P?(x?,y?)的坐标适合直线a的方程；
（3）若a与b相交，则l过a与b交点，只需求出交点和一个对称点，利用两点式就可以求出答案；若a//l，则b//l//a，三条直线的斜率相等，只需再求出一个对称点，利用点斜式可以求出答案．
【解析】方法一：在直线a:2x?y?4?0上取一点A(2,0)，设A点于l的对称点B(x0,y0)， ?137??918?
y0?0?x0?23??4??1?0?4822?则?，解得B(,?)， 55?y0?0?4
??x0?23
?2x?y?4?0，解得交点D(3,?2)．
?3x?4y?1?0
由两点式可求得直线b的方程：2x?11y?16?0．
方法二：设P(x,y)是所求直线b上任一点；设P关于l的对称点P?(x?,y?)， 由?
7x?24y?6y?y'??x?x'x'?3??4??1?0????2522则有：?，解得? y?y'4?24x?7y?8??y'????25?x?x'3?
∵P?(x?,y?)在直线a:2x?y?4?0上， 7x?24y?6?24x?7y?8??4?0，整理得2x?11y?16?0， ∴2?2525
故所求直线b的方程：2x?11y?16?0．
【总结升华】1. 对称问题是高考的热点之一，一般包括点关于点对称，直线关于点对称，点关于直线对称，直线关于直线对称，要掌握通解通法和记忆一些常用结论．
2. 求一条直线关于已知直线的对称直线，基本方法之一在直线上任取两点求其对称点，方法之二是利用相关点——伴随曲线方法解决，其中方法2还可以推广，如改变直线a为二次曲线C，仍可用此方
法解决．
举一反三：
【变式1】由点P（2，3）发出的光线射到直线x?y??1上，反射后过点Q（1，1），则反射光线所在直线的一般方程为________．
【答案】：4x?5y?1?0
【解析】设点P关于直线x?y??1的对称点P?(x0,y0)，则P?(x0,y0)满足条件
?x0?2y0?3???1,?2?2 ?y?3?0?1,x?2??0
解得P?(?4,?3)，∴ 由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为y?1?
即4x?5y?1?0．
类型二：圆的方程的综合问题
例4．求过P(-2，4)，Q(3，-1)两点，且在x轴上截得弦长为6的圆的方程．
【思路点拨】设圆的一般方程，用待定系数法求解．
【答案】x2?y2?2x?4y?8?0或x2?y2?6x?8y?0
【解析】设圆的方程为x2?y2?Dx?Ey?F?0，将P、Q点的坐标分别代入圆的方程， ?3?1(x?1)， ?4?1?2D?4E?F?20，①得? 3D?E?F??10.②?
又令y＝0，得x?Dx?F?0． ③
设③的两个根为x1，x2，
则|x1?x2|?6，∴ D?4F?36． ④
由①②④求得D＝-2，E＝-4，F＝-8或D＝-6，E＝-8，F＝0．
故所求圆的方程为x2?y2?2x?4y?8?0或x2?y2?6x?8y?0．
【总结升华】本题运用了待定系数法、方程(组)的思想方法．
举一反三：
【变式1】直线l被圆C:x?y?2y?0所截得的弦的中点是M(?
【答案】：x?y?2?0
【变式2】已知直线l：2mx?y?8m?3?0和圆C：x?y?6x?12y?20?0.
（1）m?R时，证明l与C总相交．
（2）m取何值时，l被C截得弦长最短，求此弦长．
【答案】： 22222213,)，求直线l的方程． 22