AA1B1B
，且C1H?
（Ⅰ）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角A?A1C1?B1的正弦值；
（Ⅲ）设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN?平面A1B1C，求线段BM的长．
所以二面角A?A1C1?
B1的正弦值为
7
.
（Ⅲ）由N为棱B1C1的中点,
得N
,,设M(a,b,0),则222
?????MN?2
?a,
2
?b,
2
,
????????????MN?A1C1?0
由MN?平面A1B1C1,得?????,
即??????
??MN?A1B1?0
??a)(?b)(??0??232
, ?
??a)(??0??2
?a????????2
解
得?,
故M,因
此BM?(0),所以线段BM的长
为0)
2424?
b???4
?????|BM|?
4
7. (2011年高考江西卷理科21)（本小题满分14分）
（1）如图，对于任一给定的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的四个相互平行的?1,?2,?3,?4，使得Ai??i(i?1,2,3,4),且其中每相邻两个平面间的距离都相等；
（2）给定依次排列的四个相互平行的平面?1,?2,?3,?4，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足：Ai??i(i?1,2,3,4), 求该正四面体A1A2A3A4的体积．
解析：如图，将此正四面体补形为正方体ABCD?A1B1C1D1（如图），分别取AB、CD、A1B1、
C1D1的中点E、F、E1、F1，平面DEE1D1与BFF1B1是分别过点A2、A3的两平行平面，若
其距离为1，则正四面体A1A2A3A4满足条件，右图为正方体的下底面，设正方体的棱长为a，
12
若AM?MN?1，因为AE?
a，DE?
2
，在直角三角形ADE中，AM⊥DE
，所以
1?
2
?
12
a?
a，所以a?
?
所以此正四面体的体积为V?a3?4??
1132
a?
3
本题考查立体几何中的面面关系、正四面体及体积计算．
8．(2011年高考湖南卷理科19)（本小题满分12分）
如图5，在圆锥PO中，已知PO
⊙O的直径AB?2,C是?AB的中点，D为AC的中点．
（Ⅰ）证明：平面POD ?平面PAC; （Ⅱ）求二面角B?PA?C的余弦值.
解法1：连结OC，因为OA?OC,D是AC的中点,所以AC?OD.
又PO?底面⊙O，AC?底面⊙O，所以AC?PO，
因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC?平面POD， 而AC?平面PAC，所以平面POD?平面PAC。
（II）在平面POD中，过O作OH?PD于H，由（I）知，
平面POD?平面PAC,所以OH?平面PAC，又PA?面PAC，所以PA?OH. 在平面PAO中，过O作
OG?PA
于G，连接HG，
则有PA?平面OGH，从而PA?HG，故?OGH为二面角B—PA—C的平面角。
在Rt?ODA中,OD?OA?sin45??
2
在Rt?POD中
,OH?
?
?
5
在Rt?POA中,OG?
PO?OA?
1?
3
在Rt?OHG中,sin?OGH?
OHOG
?
?3
5
所以cos?OGH??
?
5
故二面角B—PA—C
的余弦值为
5
解法2：（I）如图所示，以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则O(0,0,0),A(?1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,，
D(?
11
,,0) 22
????????
设n1?(x1,y1,z1)是平面POD的一个法向量，则由n1?OD?0,n1?OP?0，
得1?1
?x?y1?0,?1
22 ?0.1
所以z1?0,x1?y1,取y1?1,得n1?(1,1,0).设n2?(x2,y2,z2)是平面PAC的一个法向量，
?????????
??x2?2?0,则由n2?PA?0,n2?PC?0，得?
??y2?2?0.
所以x2?2,y2?2.取z
2?1,得n2?(。
因为n1?n2?(1,1,0)?(?0, 所以n1?n2.从而平面POD?平面PAC。
（II）因为y轴?平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为n3?(0,1,0).
由（I）知，平面PAC
的一个法向量为n2?(,设向量n2和n3的夹角为?，则
cos??
n2?n3|n2|?|n3|
?
?
5
由图可知，二面角B—PA—C的平面角与?相等，