解三角形的必备知识和典型例题及详解
一、知识必备：
1．直角三角形中各元素间的关系：
在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 （1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sinA＝cosB＝
aba
，cosA＝sinB＝，tanA＝。 ccb
2．斜三角形中各元素间的关系：
在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。 （1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
abc
???2R（R为外接圆半径） sinAsinBsinC
（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC. （4）余弦定理的推论：
b2?c2-a2cosA?;
2bc
a2?c2-b2
cosB?;
2ac
a2?b2-c2
cosC?.
2ab
3．三角形的面积公式：
111
（1）S?＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
222111
（2）S?＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
2224．三角形中的三角变换
因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC； cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。
sin
A?BCA?BC?cos,cos?sin； 2222
二、典例解析
题型1：正、余弦定理解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．主要类型：
（1）两类正弦定理解三角形的问题：
第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 例：已知?ABC中，a=10,A=30o,C=45o,解三角形
第2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. 注意可能有两解的情形 例：已知?ABC中，a=2,A=30,b=2,解三角形 （2）两类余弦定理解三角形的问题：
第1、已知三边求三角.
例，已知?ABC中，a:b:c?2:6:(?1),求各角度数 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 例：已知?ABC中，a=1，C=15o，b=,解三角形 变式练习：已知?ABC中，cosA?
题型2：正、余弦定理判断三角形形状
已知三角形中的边角关系式，判断三角形形状有两条思路：一是化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；二是化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式
例：在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 C.等腰三角形
B.直角三角形 D.等边三角形
1
，a=4,b+c=6且b<c,求b,c的值 4
o
解析：2sinAcosB＝sinC 2sinAcosB =sin（A＋B） 2sinAcosB =sinAcosB+cosAsinB 2sinAcosB- sinAcosB-cosAsinB=0 sinAcosB-cosAsinB=0 ∴sin（A－B）＝0，∴A＝B
另解：角化边
练习：1. 已知?ABC中，bsinB=csinC,且sin2A=sin2B+sin2C, 判断三角形的形状
2. 已知?ABC中，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 确定三角形的形状
3. 已知?ABC中，B=60o，2b=a+c，判断三角形的形状
题型3：三角形面积
三角形面积公式有多种形式，根据题中的条件选择最合适的面积公式.
S?＝
111
absinC＝bcsinA＝acsinB公式中含有正弦值，可以和正弦定理222
建立关系，又由正弦值还可求出余弦值，这就可以与余弦定理建立关系，另外面积公式中有两边的乘积，在余弦定理中也有.
例：在?ABC中，已知a?2,b?23,A?45o,求三角形的面积. 练习：
1.在锐角?ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，且a?2csinA， （1）确定角C的大小
（2）若c?7，且?ABC的面积为2.（2011山东高考题）
17、（本小题满分12分）
在?ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知
cosA?2cosC2c?a
?.
cosBb
sinC
（Ⅰ）求的值；
sinA
1
（Ⅱ）若cosB?,b?2，求?ABC的面积S.
4
3.（2012山东高考题） (17)(本小题满分12分)
3，求a+b的值 2
在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知
sinB(tanA?tanC)?tanAtanC.
(Ⅱ)若a?1,c?2，求△ABC的面积S.
题型4：正余弦定理的实际应用
例．如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座
灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为600，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求BD的距离 解:在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30o,
所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，
ABAC
?,
在△ABC中，sin?BCAsin?ABC
ACsin60?32?6
?,
即AB=sin15? 20
因此，
三、思维总结
1．解斜三角形的常规思维方法是：
（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b；
（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角；
（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；
（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C。 2．两内角与其正弦值：在△ABC 中，A?B?sinA?sinB，…