单调性与最大最小值检测试题

1．函数f(x)＝9－ax(a＞0)在[0,3]上的最大值为( )

A．9 B．9(1－a)

2C．9－a D．9－a

解析：选A.x∈[0,3]时f(x)为减函数，f(x)max＝f(0)＝9.

2．函数y＝x＋1－－1的值域为( )

A．(－∞，] B．(0，]

C．[，＋∞) D．[0，＋∞)

??x＋1≥0解析：选B.y＝＋1－1，∴?， ?x－1≥0?2

∴x≥1.

x＋1＋－1

∴f(x)max＝f(1)且y＞0.

3．函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2在[0，a]上取得最大值3，最小值2，则实数a为( )

A．0或1 B．1

C．2 D．以上都不对

2解析：选B.因为函数f(x)＝x－2ax＋a＋2＝(x－a)2－a2＋a＋2, 对称轴为x＝a，开口方

向向上，所以f(x)在[0，a]上单调递减，其最大值、最小值分别在两个端点处取得，即f(x)max＝f(0)＝a＋2＝3，

2f(x)min＝f(a)＝－a＋a＋2＝2.故a＝1.

xy4．(2010年高考山东卷)已知x，y∈R＋，且满足＋＝1.则xy的最大值为________． 34

yxx解析：1－，∴0＜1

－1,0＜x＜3. 433x43而xy＝x·4(1)＝－x－2＋3. 332

3当x＝，y＝2时，xy最大值为3. 2

答案：3

1．函数f(x)＝x在[0,1]上的最小值是( )

A．1 B．0

1C. D．不存在 4

解析：选B.由函数f(x)＝x2在[0,1]上的图象(图略)知，

f(x)＝x2在[0,1]上单调递增，故最小值为f(0)＝0.

??2x＋6，x∈[1，2]2．函数f(x)＝?，则f(x)的最大值、最小值分别为( ) ?x＋7，x∈[－1，1]?2∵y＝2[1，＋∞)上的减函数，

A．10,6 B．10,8

C．8,6 D．以上都不对

解析：选A.f(x)在x∈[－1,2]上为增函数，f(x)max＝f(2)＝10，f(x)min＝f(－1)＝6.

23．函数y＝－x＋2x在[1,2]上的最大值为( )

A．1 B．2

C．－1 D．不存在

22解析：选A.因为函数y＝－x＋2x＝－(x－1)＋1.对称轴为x＝1，开口向下，故在[1,2]

上为单调递减函数，所以ymax＝－1＋2＝1.

1在[2,3]上的最小值为( ) x－1

1A．2 B.211C. D．－ 32

1解析：选B.函数y＝[2,3]上为减函数， x－1

11∴ymin＝＝.X k b 1 . c o m 3－12

25．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x＋21x和

L2＝2x，其中销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )

A．90万元 B．60万元

C．120万元 D．120.25万元

解析：选C.设公司在甲地销售x辆(0≤x≤15，x为正整数)，则在乙地销售(15－x)辆，∴公司获得利润L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30.∴当x＝9或10时，L最大为120万元，故选C.

6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )

A．－1 B．0

C．1 D．2

2解析：选C.f(x)＝－(x－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a.

∴函数f(x)图象的对称轴为x＝2，

∴f(x)在[0,1]上单调递增．

又∵f(x)min＝－2，

∴f(0)＝－2，即a＝－2.

f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.

7．函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________．

解析：∵x∈N*，∴x2≥1，

∴y＝2x2＋2≥4，

即y＝2x2＋2在x∈N*上的最小值为4，此时x＝1.

答案：4

8．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．

解析：由题意知f(x)在[1，a]上是单调递减的，

又∵f(x)的单调减区间为(－∞，3]，

∴1<a≤3.

答案：(1,3]

x9．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最大值为________；最小值为________． x＋2

x＋2－2x2解析：∵f(x)＝＝1－， x＋2x＋2x＋2

∴函数f(x)在[2,4]上是增函数，

21∴f(x)min＝f(2)＝＝， 2＋22

42f(x)max＝f(4)4＋23

21答案：324．函数y＝

x≤1??x ?－1210．已知函数f(x)＝?1?x?1＜x≤2?2 ，

求f(x)的最大、最小值．

1解：当－x≤1时，由f(x)＝x2，得f(x)最大值为f(1)＝1，最小值为f(0)＝0； 21当1＜x≤2时，由f(x)，得f(2)≤f(x)＜f(1)， x

1即≤f(x)＜1. 2

综上f(x)max＝1，f(x)min＝0.

11．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

(1)当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车？

(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

3600－3000解：(1)当每辆车的月租金为3600元时，＝12.所以这时租50

出了88辆车．

x－3000(2)设每辆车的月租金为x元．则租赁公司的月收益为f(x)＝(100)(x－150)－50

x－3000×50， 50

整理得

x21f(x)＝－＋162x－21000＝－(x－4050)2＋307050. 5050

所以，当x＝4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)＝307050.即当每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大．最大月收益为307050元．

12．求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．

解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.

①当a＜0时，由图①可知，

f(x)min＝f(0)＝－1，

f(x)max＝f(2)＝3－4a.

②当0≤a＜1时，由图②可知，

f(x)min＝f(a)＝－1－a2，

f(x)max＝f(2)＝3－4a.

③当1≤a≤2时，由图③可知，

f(x)min＝f(a)＝－1－a2，

f(x)max＝f(0)＝－1.

④当a＞2时，由图④可知，

f(x)min＝f(2)＝3－4a，

f(x)max＝f(0)＝－1.

综上所述，当a＜0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；

2当0≤a＜1时，f(x)min＝－1－a，f(x)max＝3－4a；

2当1≤a≤2时，f(x)min＝－1－a，f(x)max＝－1；

当a＞2时，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1.

1．函数f(x)＝2x－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)为增函数，当x∈(－∞，－2]时，函数f(x)为减函数，则m等于( )

A．－4 B．－8

C．8 D．无法确定

解析：选B.二次函数在对称轴的两侧的单调性相反．由题意得函数的对称轴为x＝－2，m则＝－2，所以m＝－8. 4

2．函数f(x)在R上是增函数，若a＋b≤0，则有( )

A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)

B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)

C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)

D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)

解析：选C.应用增函数的性质判断．

∵a＋b≤0，∴a≤－b，b≤－a.

又∵函数f(x)在R上是增函数，

∴f(a)≤f(－b)，f(b)≤f(－a)．

∴f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)．

xx3．下列四个函数：①y＝y＝x2＋x；③y＝－(x＋1)2；④y＝＋2.其中在(－x－11－x

∞，0)上为减函数的是( )

A．① B．④

C．①④ D．①②④

x－1＋1x1解析：选A.①y＝＝1＋. x－1x－1x－1

其减区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．

111②y＝x2＋x＝(x＋2－(－∞． 2422③y＝－(x＋1)，其减区间为(－1，＋∞)，

④与①相比，可知为增函数．

4．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是________．

kkk解析：对称轴x＝≤5，或≥8，得k≤40，或k≥64，即对称轴不能处于区间内． 888

答案：(－∞，40]∪[64，＋∞) 2