复变函数练习题 第三章 复变函数的积分

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§1 复变函数积分的概念 §4 原函数与不定积分

一．选择题

1．设C为从原点沿y2?x至1?i的弧段，则?(x?iy)dz? [ ]

2

C

（A）

16

?

56

i （B）?

156

?

6

i （C）?

116

?

56

i （D）

6

?

56

i

2. 设C是z?(1?i)t，t从1到2的线段，则?argzdz? [ C

（A）

?

4

（B）

?

4

i （C）

?

4

(1?i) （D）1?i

3．设C是从0到1??

i的直线段，则?z

2

C

zedz? [ （A）1?

?

2

e （B）?1?

?

2

e （C）1?

?

2

ei （D）1?

?

2

ei

4．设在复平面处处解析且??i

)??i

f(z)dz?2?i，则积分?

?i

f(z)??i

f(?zdz? [ （A）2?i （B）?2?i （C）0 （D）不能确定 二．填空题

1． 设C为沿原点z?0到点z?1?i的直线段，则?C

2? 2 。

2

2． 设C为正向圆周|z?4|?1，则?

z?3z?2

C

(z?4)

2

dz?10?i.

三．解答题

1．计算下列积分。 （1）

?

3?i??e2z

i

dz?12e

2z

3?i??i ?

1(e6?i

?e

?2?i

2

)?0

]

]

]

（2）

??

?

?i

?i

sinzdz

?i

2

?

1?cos2z

2sin2?i2

??i

?zsin2z?????

4???i?2

e

?2?

?i

?2?

??i???i?

?e4i

2?

?e

?i????

?e4

2?

??.?

（3）

?

10

zsinzdz

1

?(sinz?zcosz)0?sin1?cos1.

（4）

?

?i

zcoszdz

2

2

?

sinz2

?i

?

12

?sin(?i)??

2

sin?2

2

.

2．计算积分 （1）

|z|?2

积分曲线C的方程为

z?2e,则原积分I=?

2?0

i?

?

C

|z|

dz的值，其中C为正向圆周：

0???2?

?2ied??

i?

2e

?i?

2

?

2?0

2id??4?i.

（2）

|z|?4

积分曲线C的方程为

z?4e,则原积分I=?

2?0

i?

0???2?

4e

?i?

4

?4ied??

i?

?

2?0

4id??8?i.

3．分别沿y?x与y?x2算出积分?解：(1)沿y=x的积分曲线方程为

z?(1?i)t,

0?t?1

1?i0

(i?)dz的值。

则原积分

I??

?

10

10

[i?(1?i)t](1?i)dt

2

1

?

(i?1?2t)dt?[(i?1)t?t]?i?2

（2）沿y?x2的积分曲线方程为

z?t?it,

2

0?t?1

则原积分 I??

?

1

10

[i?(t?it)](1?2it)dt

3

2

2

?

[?3t?2t?i(1?t)]dt?[?

32

t?

2

12

t?i(t?

4

13

1

t)]??2?

3

23

i.

4．计算下列积分

(1)

?

C

(x?y?ix)dz,C:从0到1?i的直线段；

2

C的方程：

z?(1?i)t,

0?t?1

或

?x(t)?t

,0?t?1 ?

y(t)?t?

则原积分

I?

?

10

[t?t?it](1?i)dt

1

2

2

?(i?1)?tdt?

i?13

.

(2)

?

C

(z?)dz，C：|z|?1上沿正向从1到?1。

2

C的方程：

则原积分

z?ei?

,

0????

I?

?

?

2i?

(e

?1)iei?

d?

?

?

3i?

?i?0

(e

3i?

?ei?)d???ei??

8??e????3?0

3.