研究的问题；假定信号空间X的正交基元组为{?i,i?1~n}，那么，若f?X，如何表示出f到X的距离
① 首先考虑另外一个空间F，假定X?F,
但X?F,且f?F f?F x?X d(
f,x)?f?x
△△mind(f,x)?f?x （从X中指定一点x到f的距离最短）
f?x2?f?x,f?x
nn
?f???i?i,f???k?k
i?1k?1
nnnn
?f,f???ii,f??f,?k??*
ki,?k
i?1??kk?1???ii?1k?1
n
?f2n
???if,?*
i???n
kf,?k?
i?1?k?1?2ii?1
2n
?f??(??*
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if,?i??2
i)
i?1
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if,?iif,?i??if,?i??2
i?f,?*
if,?i)
i?1
?f2n
??(f,?22
i??i?f,?i)
i?1
?i?f,?i，可令上式最小。 最佳解：△n
x??f,?ii
i?1
e?f?△n
x?f??f,?ii i?1
讨论，若x?X,则x和ex,e?0 取
x,e?x,f?x△
?x,f??f,?ii
i?1n
????j
j?1
n
j?1
nnj,f??f,?iii?1nn ???j?j,f??f,?iii?1 * ???jj,f???j?f,?j
j?1
nj?1i?1nni,?j
???j(j,f?f,?j)
j?1*
?0
由此：f?e?x △
?f
22?x?ex,e?0可得） 22△2△22?f?x?f ?x△
(5)无限元的逼近
△x??f,?ii
i?1n
假定，X的基元为可列无穷多，则X的任意元素可以表示为： x??x,?ii
i?1?
假定x1?X，且X具有有限基元组??i,i?1~n?，则对于任意x?X，有： x??X,?ii?e
i?1n
其中?i和e正交。
根据正交投影原理：
x2?x?e △22
由此可以得到：
x2?x△2
??i?1
n
i?1
nnX,?ii,?X,?jjj?1nn ???j?1X,?iX,?j2*i,?j ??X,?i
i?1
limx?lim?X,?iin??n??i?1△n
按范数收敛到x.
limX?x?lime?0n??n??△
limX?xn??△2?lim(Xn??2?x)△2
f?t??
m????F??t? m?
设??t?的Fourier变换为??j??
假定??t?m?，m?Z，Z为整数集
构成信号X的标准正交基，根据上述假定： 则，对任一信号f?t??X有：
f?t??
m????F??t?m? m?
对上式作Fourier变换有：
F?j???
m????Fem??jm???j??
?jm? ???j??
??j???令F?m????Fem?jm?
m?
m????Fe
??j????j?? 于是有：F?j???F
f?
t??2?
???f?t?f?t?dt ?
?
??m??? ???F??t?m??F??t?k?dt m??kk?????
???FF???t?m???t?k?dt ①式 m?k????
m???k?????
?
????t?m????t?k?dt ??
???????1,k?m
??
???????0,k?m
2
?①式?
m??Fm ???
1?2
f?
t?2?2?F?j??d?
???1?
?2
2?F??2d? ?????j????j
??2l?1??
?1
2????F?j??2?j??2d?
????2l?1??
令??v?2l?
?
?1?
2????F?jv?j2?l?2?jv?j2?l?2dv
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?
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m
m?Fe???
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m
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m???F??jm?v?k?mFke???k????
?
又?1
2?dv
??e?j?m?k?v?
???????1,k?m
??
???????0,k?m②式