从图象上可见，当

无限增大时，函数值无限地接近于0；

而对于函数两个函数当

时有极限。

，则当趋于

时函数值无限地接近于。我们称这

一般地，当

趋于

时函数极限的精确定义如下：

定义1

设定义

在上的函数

，为定数。若对任给

的，存在

正数

，使得当时, 有，则称函数当趋于时以为

极限，记作

或

。

说明:(1)、在定义1中正数的作用与数列极限定义中的相类似，表明充分大的程度；但

这里所考虑的是比

以

大的所有实数，而不仅仅是正整数

在

。因此，当趋于

时函数

为极限意味着：的任意小邻域内必含有的某邻域内的全部函数值。

(2)、定义1的几何意义如下图所示，

对任给

的

，在坐

标平面上平行于

轴的两条直线

与，围成以直线为中心线、宽为的

带形区域；定义中的“当时有”表示：在直线

的右方，曲线

全部落在这个带形区域之内。如果正数

给的小一点，即当带形区域更窄一点，那么直线

一般要往右平移；但无论带形区域如何窄，总存在这样的正

数，使得曲

线

在直线的右边部分全部落在这更窄的带形区域内。

定义1的否定叙述: 定义1’ 设定义在上的函数，为定数。若存在某个

???0，

对任意充分大的正数M

，总存在某个

x??M,使得:f(x0)????，则称函数

当

趋

于

时不以

为极限.

(3)、现设

为定义在

或上的函数，当或时，若

函数值能无限地接近某定数，则称

当或时以为极限，

分

别

记

作

:

或

;

或

这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，只须把定义1中的

“”分别改为

“

”或 “”即可。

问

题

:

xlim???

f(x)?A或limx??

f(x)?A的否定叙述的定义又如

(4)、显然,若为定义在上的函数，则

（1）二 趋于时函数的极限

设为定义在某个空心邻域内的函数。现在讨论当

趋于时，对应的函数

何写?

值能否趋

于某个定数

。这类函数极限的精确定义如下：

定义）设函数

在

某个空心邻域

内有定义，

为定数。

定义2（函数极限的若对任给

的于

时以

，

存在正数为

，使得当时有，则称函数当趋

极限，记作

下面我们举例说明如何应用值是

怎样确定的。

或

。

定义来验证这种类型的函数极限。请读者特别注意以下各例中

的

通过以上各个例子，读者对函数极限的1.定义2中的正数

，相当于数列极限

愈小，

定义应能体会到下面几点： 定义中的

，它依赖于

，

取得更小些也无妨。如

但也不是由所唯一确定，一般来说，在例3

也相应地要小一些，而且把

中可取或等等。

2.定义中只要求函数

义，

在

某一空心邻域内有定义，而一般不考虑

在点处的函数值是否有定

或者取什么值。这是因为，对于函数极限我们所研究的是当

在

定理3.9设函数任何以

为极限的递减数列

，有

在点

的某空心右邻域

趋于过程中函数值的变化趋势。如

有定义。的充要条件是：对

。

的取法要作适当的修改，

这个定理的证明可仿照定理3.8进行，但在运用反证法证明充分性时，对

以保证所找到的数列能递减地趋于。证明的细节留给读者作为练习。

相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理。现以这种类型为例叙述如下：

定理3.10设是定义在上的单调有界函数，则右极限存在。

证 不妨设记为

。

在上递增。因在上有界，由确界原理，存在，

下证

事实上，任

给

，则由

的递增性，对一切

。

，按下确界定义，存

在

，使

得

。取

=，有

另一方面，由

，更有

。从而对一切

有

这就证得

。

最后，我们叙述并证明关于函数极限的柯西准则。 定理3.11（柯西准则）设存在

正数

，使得对任何

，

，有

在

内有定义。

存在的充要条件是：任给

，

．

证 必要性

设

有

，则对任给的

，存在正数

，使得对任何

。于是对任何

，

有

。

充分性

设数列

，使得

且

。按假设，对任给的，存在正数

对任何

，存在

，

，

有

。由于（）

，对上述的