青岛五十八中2013年自主招生考试
数学笔试试卷
(考试时间：60分钟 满分：120分)
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本卷分Ⅰ、Ⅱ两卷，第Ⅰ卷为选择题，请将正确答案填涂到答题纸指定位置；第Ⅱ卷为非选择题，请将正确答案填写到答题纸指定位置。
第 Ⅰ 卷
一、选择题（每个小题只有一项正确，每小题6分，共42分）
1．有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示. 如果记1的对面的数字为a，3的对面的数字为b，那么a?b的值为（ ）
A．3 B．7 C．8 D．11
2．对实数a,b，定义运算“★”：a★b=??
a
a?b
?b
a?b
,设y?(-x-1)★(x?1)，则不等式y?0的解为（ ）
A．x?1 B．?1?x?1 C．x??1 D．x??1或x?1
3．为了普及环保知识,增强环保意识,某中学随机抽取了30名学生参加环保知识测试,得分（10分制）如图所示,假设得分值的中位数为m，众数为n，平均数为x，则（ ）
3 4 5 6 7 8 9 10 得分
A．m=n=x
B．m=n<x
C．m<n<x
D．n<m<x
4．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片（图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x、y应为（ ） A．x=15，y=12 B．x=12，y=15 C．x=14，y=10 D．x=10，y=14
5．右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列四个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视
图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图;④正(主)视图
存在正方体，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是（ ） A．3 B．2
C．1
D．4
6．若y?-1图像与y??x2
?bx图像有且仅有2个不同的公共点 俯视图
x
A?x1,y1?，B?x2,y2?,则下列判断正确的是（ ）
A．x1?x2?0，y1?y2?0 B．x1?x2?0，y1?y2?0 C．x1?x2?0，y1?y2?0 D．x1?x2?0，y1?y2?0
7．已知圆O的圆心到直线L的距离为3，若圆上有且只有2个点到L的距离为2，则半径r
的取值范围是（ ） A．r?3
B．1?r?3
C．1?r?5
D．1?r?5
第 Ⅱ 卷
二、填空题（每小题6分，共30分）
8．某商人购货，进价已按原价a扣去25％，他希望对货物订一新价格，以便按新价让利20％销售后仍可获得25％的利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为_______________________.
9．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA=a，OB=OC=OD=2，则a等于__________.
10．在?ABC中，E、F分别为边AB、AC的中点，G为线A
段EF上一点，记?ABC、?AGC、?ABG、?GBC面积分别为S、S1、S2、S3，已知
E
S
S
SS,SSF
1??12??2S,3??3S,且?3?2?1，则
1??2?3
?_____________.
S3
1
?2?3
B
C
11．若定义?a?表示不大于实数a的最大整数（例如当-2?a??1时，?a???2;0?a?1时，
?a??0）, 定义?a??a??a?.若当2?x?52
时，函数y?m?x??n的最小值为8，最大值
为10，则m?n?_______________.
12．如下图，在平面直角坐标系中，一半径为2的圆的圆心的初始位置在（0,2），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上以每秒
?
3
的速度沿x轴正方向滚动，8秒时P点到x轴的距离为______________.
三、解答题（共48分） 13．（本题满分15分）
⑴ 求12
-22
?32
-42
???992
-1002
的和. ⑵ 探究式子12-22?32-42????-1?n?1
n2的和.
14．（本题满分15分）某同学先后随机抛掷两枚正方体骰子，其中a表示第一枚骰子出现的点
数，b表示第二枚骰子出现的点数. ⑴ 求点?a,b?满足b2
?4a的概率.
⑵ 设函数y?(a?1)x2
?2bx?1,求当x?1时,满足函数值y随x的增大而减小的概率.
15．（本题满分18分）先阅读下面一段材料，再完成后面的问题：
材料：过抛物线y=ax2（a>0）的对称轴上一点（0，-
1
4a
）作对称轴的垂线l，则抛物线上任意一点P到点F（0，1
4a
P到l的距离一定相等，我们将点F与直线l分别称作这条抛物线的焦点和准线.如y=x2的焦点为（0，1
4
.
问题：若直线y?kx?1交抛物线y?
12
4
x于A、B两点，准线l与y轴交于点K.
⑴ 求证：以AB为直径的圆与准线l相切.
⑵ 当k?0时，作以F为焦点, 以AB为直径的圆F，准线l上一点C与圆心F的连线交圆于D、E两点，过点E作准线的垂线，垂足为M，若?MCE??CEK（如图），求
?MCE的面积
.