保险精算（第二版）
第一章：利息的基本概念
练 习 题
1．已知a?t??at?b，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
a(0)?b?1a(5)?25a?b?1.8?a???
0.825
,b?1a(5)?300a(8)?
300*100180
(64a?b)?508
2
300*100180180
300*100
2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定i1,i3,i5。
i1?
A(1)?A(0)
A(0)
?0.1,i3?
A(3)?A(2)
A(2)
?0.0833,i5?
A(5)?A(4)
A(4)
?0.0714
(2)假设A?n??100??1.1?，试确定 i1,i3,i5 。
i1?
A(1)?A(0)
A(0)
?0.1,i3?
A(3)?A(2)
A(2)
?0.1,i5?
A(5)?A(4)
A(4)
?0.1
n
3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
500a(3)?500(1?3i1)?620?i1?0.08?800a(5)?800(1?5i1)?1120
500a(3)?500(1?i2)?620?i1?0.0743363?800a(5)?800(1?i3)?1144.97
53
4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 i1?10%，第2年的利率为i2?8%，第3年的利率为 i3?6%，求该笔投资的原始金额。
A(3)?1000?A(0)(1?i1)(1?i2)(1?i3)?A(0)?794.1
5．确定10000元在第3年年末的积累值:
(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
10000a(3)?10000(1?
i
(4)
4
)
12
?11956.18
3
1?4 ?()4??i
10000a(3)?10000?1???11750.08
1???4?
6．设m＞1，按从大到小的次序排列d?d
(m)
???i
(m)
?i。
7．如果?t?0.01t，求10 000元在第12年年末的积累值。、
10000a(12)?10000e
?0
12
?tdt
?10000e
0.72
?20544.33
8．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，
第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。
(1?i)?(1?i1)(1?d2)(1?
4
?1
i
(4)
4
)(1?
4
i
(2)
2
)
2
?1.1*1.086956522*1.061363551*1.050625?1.333265858 ?i?0.74556336
9．基金A以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B以利息强度?t?基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。
a1(t)??1.01?a2(t)?e
?0
t
t6
积累，在时刻t (t=0)，两笔
12t
?tdt
t
2
?e12
t
2
??1.01?
12t
?e12,t?1.432847643
10. 基金X中的投资以利息强度?t?0.01t?0.1(0≤t≤20), 基金Y中的投资以年实际利率i积累；现分别投资1元，则基金X和基金Y在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基金Y的积累值。
a1(t)??1?i?a2(t)?e??1?i?
?0
t
t
?tdt
0.01t
2
?e
2
2
2
?0.1t
0.01*20
20
?0.1*20
?e?e
4
?1?i?
3
?1.8221
11. 某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为（ ）万元。
A. 7.19 B. 4.04 C. 3.31 D. 5.21
3(1?
i
(3)
3
)
3*5
?3*1.02
15
?4.0376
12.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%，甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余本金部分为（ ）元。
A.7 225 B.7 213 C.7 136 D.6 987
(1?
i
(2)
2
)
2*2
?1.03?1.1255
4
第二章：年金
练习题
1．证明v?v
n
m
?i?am?an
?。
n
i?am?an
??i(
1?vi
m
?
1?vi
)?v?v
nm
2．某人购买一处住宅，价值16万元，首期付款额为A，余下的部分自下月起每月月初付1000元，共付10年。年计息12次的年名义利率为8.7% 。计算购房首期付款额A。
1000a120?1000
1?v
i
120
?79962.96(i?8.7%/12)
?160000?79962.96?80037.04
3. 已知a7?5.153 , a11?7.036, a18?9.180, 计算 i。
?1????a11 ?1?i?
7
a18?a7
?i?0.08299
4．某人从50岁时起，每年年初在银行存入5000元，共存10年，自60岁起，每年年初从银行提出一笔款作为生活费用，拟提取10年。年利率为10%，计算其每年生活费用。
??5000a10
?1?
?x??
?1?i?
10
a10
?x?12968.7123
5．年金A的给付情况是：1～10年，每年年末给付1000元；11～20年，每年年末给付2000元；21～30
年，每年年末给付1000元。年金B在1～10年，每年给付额为K元；11～20年给付额为0；21～30年，每年年末给付K元，若A与B的现值相等，已知v
A?1000a10
?1
?2000?
?1?
??i?
20
10
?
12
，计算K。
20
??i?
10
a10
?1
?1000?
?1???i?
a10
B?Ka10A?B
?1?K?
?1?
a10
?K?1800
6． 化简a10?1?v
a10?1?v
10
10
?v
20
20
? ，并解释该式意义。
30
?v
??a
7. 某人计划在第5年年末从银行取出17 000元，这5年中他每半年末在银行存入一笔款项，前5次存款每次为1000元，后5次存款每次为2000元，计算每年计息2次的年名义利率。
?1??1?
1000a5?2000?a?17000?5??
?1?i??1?i??i?3.355%
5
10
8. 某期初付年金每次付款额为1元，共付20次，第k年的实际利率为
11?i1911
1(1?i1)(1?i2)928
1
(1?i1)?(1?i19)
18?k
，计算V(2)。
V(2)?1?
910
????
?1????
9. 某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，给付形式为永续年金，前两个孩子第1到n年每年末平分
所领取的年金，n年后所有的年金只支付给第三个孩子，若三个孩子所领取的年金现值相等,那么v=( )
1
?1?n?1?n
A. ?? B. 3n C. ?? D.3
?3??3?
1
n
12
an?va?
n
n
1?viv?
n
?2v13
n
1i
11. 延期5年连续变化的年金共付款6年，在时刻t时的年付款率为?t?1?,t时刻的利息强度为1/(1+t),该年金的现值为（ ）
A.52 B.54 C.56 D.58
a?5|6v(t)?
2
?
115
v(t)(t?1)dt?e
115
2
1a(t)
1?0
t
?
1t?1
2
?tdt
?
a?5|6
?
1t?1
(t?1)dt?54
第三章：生命表基础
练习题
1．给出生存函数s?x??e
?
x
2
2500
，求：
(1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。 (2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。 (3)人能活到70岁的概率。
(4)50岁的人能活到70岁的概率。