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2011年黄冈中学高考数学压轴题精选2

x2y2

+=1的左、右焦点. 6、设F1、F2分别是椭圆54

（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1?PF2的最大值和最小值；

（Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.

7、已知动圆过定点P（1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C在l上.

(1)求动圆圆心的轨迹M的方程；

(2)设过点P,且斜率为?3 的直线与曲线M相交于A,B两点.

（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由

（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.

8、定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，

（1） 求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；

（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。

9、已知二次函数f(x)?x2?2bx?c(b,c?R)满足f(1)?0，且关于x的方程

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，（0，1）内。 f(x)?x?b?0的两实数根分别在区间（-3，-2）

（1）求实数b的取值范围；

（2）若函数F(x)?logbf(x)在区间（-1-c，1-c）上具有单调性，求实数C的取值范围

10、已知函数f(x)在(?1,1)上有意义,f()??1,且任意的x、y?(?1,1)都有1

2

x?yf(x)?f(y)?f(). 1?xy

（1）若数列{xn}满足x1?

（2）求1?f()?f(

解答

6、解：（Ⅰ）易知a?5,b?2,c?1,?F1?(?1,0),F2(1,0)

22设P（x，y），则PF?PF?(?1?x,?y)?(1?x,?y)?x?y?1 122xn1*,xn?1?(n?N),求f(xn). 221?xn15111)??f(2)?f()的值. 11n?2n?3n?1

x2?4?421x?1?x2?3 55

?x?[?5,]，

?当x?0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1?PF2有最小值3； 当x??，即点P为椭圆长轴端点时，PF1?PF2有最大值4

（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k

直线l的方程为y?k(x?5) ?x2y2

?1??由方程组?5，得(5k2?4)x2?50k2x?125k2?20?0 4?y?k(x?5)?

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依题意??20(16?80k2)?0，得? ?k?55

当?5时，设交点C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD的中点为R(x0,y0)， ?k?55

x1?x250k225k2

,x0??2则x1?x2? 225k?45k?4

25k2?20k?y0?k(x0?5)?k(2?5)?2. 5k?45k?4

又|F2C|=|F2D|?F2R?l?k?kF2R??1

?k?kF2R20k)220k2?k????1 2225k4?20k1?25k?40?(?

∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立， 所以不存在直线l，使得|F2C|=|F2D| 综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|

7、解：(1)依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x.

?(2)(i)由题意得,直线AB的方程为:y??(x?1)由?y2??(x?1) 消去 y 得:?y?4x

1123163x2?10x?3?0,解得x1?,x2?3.所以A(,),B(3,?2),|AB|?x1?x2?2?.3333

假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即

162?22(3?1)?(y?2)?(),?3相减得:42?(y?23)2?(4)2?(y?23)2,解得y??14(不符,舍)?122162339)?()?(?1)2?(y?33?3

因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.

（ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，

?由?y??3(x?1) 得 y?23,此时A,B,C三点共线,故y?2.?x??1，

12322843y16256又|AC|2?(?1?)2?(y?)???y2,|AB|2?()2?339339，

当|BC|2?|AC|2?|AB|2,即28?4y?y2?

∠CAB为钝角.

2842562?y?y2?,即y? 时,9399

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当|AC|2?|BC|2?|AB|2,即2843256?y?y2?28?4y?y2?939

10 时?CBA为钝角.3

256284y又|AB|2?|AC|2?|BC|2,即???y2?28?43y?y2

993 y??

即:y2?4422y??0,(y?)?0333.

该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是: y??1023或y?(y?2)39.

解法二： 以AB为直径的圆的方程为: 528528(x?)2?(y?)2?()2圆心(,?)到直线L:x??1 333333.

2).3

当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G 点不重合，且A， B，C三点不共线时， ∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角. 因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角. 所以,以AB为直径的圆与直线L相切于点G(?1,?过点A且与AB垂直的直线为:y?233123?(x?).令x??1得y?3339.

10(x?3),令x??1得y??33. 过点B且与AB垂直的直线为:y?2?

?又由?y??3(x?1)解得y?23,所以,当点C的坐标为(?1,23)时,?x??1 A，B，C三点共 线，不构成三角形.

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是： y??102或y?(y?2).39

8、解：（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1

（2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ f(?x)?1 f(x)

由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0

∴ f(x)?1?0又x=0时，f(0)=1>0 f(?x)

∴ 对任意x∈R，f(x)>0