2.2.1 对数与对数运算(第一课时)

一．教学内容分析

2.2.1《对数与对数运算》是人教A版必修①中第二章的内容，共分二个课时。今天我设计的是这节的第一课时。此前，学生已学习了指数及指数函数，明白了指数运算是已知底数和指数求幂值，而对数则是已知底数和幂值求指数，二者是互逆的关系。对数的概念的学习，既加深了学生对指数的理解，又为后面对数的运算性质及对数函数的学习做了充分准备，起到了承上启下的作用。

二．学生学习情况分析

现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感。通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。因此，学生已具备了探索发现研究对数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。

三．设计思想

学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会。为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。在教学过程中，我从实际问题出发，不断创设疑问，激发学生的求知欲和学习主动性，使学生紧紧抓住对数运算是指数运算的逆运算这一实质，重视指数式与对数式的互化，通过教师的引导点拨和学生的思考练习,使学生理解和掌握对数的概念及本质,达到我们预期的教学目标。

四．教学目标

（一）知识与能力：

理解对数的概念,了解对数与指数的关系；理解和掌握对数的性质；掌握对数式与指数式的互化。

（二）过程与方法：

通过与指数式的比较，引出对数定义与性质

（三）情感态度与价值观：

通过与指数的类比以及对数概念的学习，树立事物发展的辩证发展和矛盾转化的观点，培养学生严谨的治学态度。

五.教学重难点

重点：对数的概念，对数式与指数式的互化。

难点：对数概念的理解。

六．教学流程安排

七．教学过程

（一）引入

在17世纪初叶，为了适应航海事业的发展，需要确定航程和船舶的位置，为了适应天文事业的发展，需要处理观测行星运动的数据，就是为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数。恩格斯曾把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为17世纪数学的三大成就，给予很高的评价.

我们将会发现，对数可以将乘除法变为加减法，把天文数字变为较小的数，简化数 的运算。这些都非常有趣。那么，什么是对数？对数真的有用吗？对数如何发现？我们带着这些问题，一起来探究对数。

下面我们先来看这样一个实例

一尺之棰，日取其半，万世不竭。

（1）取5次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺?

分析:

1?(1)为同学们熟悉的指数函数的模型,易得????2?5?1 32?1?(2)可设取x次,则有 ???0.125 ?2?x

?1? 抽象出: ???0.125??2?xx??

这个式子是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数

（二）对数的概念

1.对数的概念：一般地，如果a x＝ N ( a＞0 且a≠1 ) ，那么数x 叫做以 a 为底 N 的对数．

记作x＝ log a N ( a＞0 且 a ≠ 1 )． 其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．

注意：①底数的限制:a>0且a≠1

②对数的书写格式

a2.两个重要的对数 logN

(1)常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，记作：log10N, 简记为 lgN.

(2)自然对数：以无理数e=2.71828… 为底的对数的对数，记作：logeN ,简记为lnN.

3.指数与对数的关系

互化 ab?N?logaN?b

幂底数 ← a → 对数底数

指数 ← b → 对数

幂 ← N → 真数

思考：

①为什么对数的定义中要求底数a>0且a≠1？

②是否是所有的实数都有对数呢？

4.对数性质：

探究活动1

求下列各式的值：

(1) log31= (2) lg1=

(3) log0.51= (4) ln1=

1的对数等于零,即loga1=0

探究活动2

求下列各式的值

(1) log33= (2) lg10=

(3) log0.50.5= (4) lne=

底数的对数等于1,即logaa=1

探究活动3

求下列各式的值

log70.6 (1)2log23?(2)7? n 对数恒等式 log a (3)0.4log0.489?a?N

（三）例题及练习

例1.求下列各式中x的取值范围：

（1）log2(x?5)；（2）log(x?1)(x?2)；

【答案】（1）x?5；（2）x?1,且x?2；

【解析】（1）由题意x?5?0，?x?5，即为所求．

（2）由题意??x?2?0,

?x?1?0,且x?1?1,

?x??2,即??x?1,且x?2． x?1,且x?2,?

【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1．

例2.将下列指数式与对数式互化：

(1)log216?4；(2)log127??3；

(3)3x?3；(4)53?125；

【解析】运用对数的定义进行互化.

?1?(1)2?16；(2)???27；

(3)?3?4?33?x；(4)log5125?3；

【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.

（四）．巩固练习

求下列各式中x的值： 12 (2)lg1000=x (3)-2lne?x 2

1【答案】（1）；（2）3；（3）-4． 4(1)log16x??

【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x. (1)x?(16)

x?12?(4)32?12?412?(?)2?4?1?1； 4(2)10=1000=10，于是x=3；

x?x222 (3)由?2lne?x，得??lne，即e?e 所以x??4 22

（五）课堂小结

1． 对数的概念

2． 对数与指数的互化

3． 对数的运算性质

（六）作业布置

八．板书设计