课堂实录

17．1．1反比例函数的意义（1课时）

【情境导入】复习引入

师：以前我们共学几种函数?它们的形式是什么？

生：正比例函数形如y=kx(k≠0)的函数．

生：（补充）还有一次函数，形如y=kx+b(k≠0)的函数

师：正比例函数与一次函数有何关系？

生：（思）正比例函数是特殊的一次函数即b=0时的情形．

师：写出下列问题中函数关系式并说明是什么函数?

（1）梯形上底是2，下底是4则周长y与高x的函数的关系式____________．

（2）某种文具单价为3元 当购买m个这个文具时共花y元，则y=_________．

生：1．y=3x；2．y=3m．

师：这两个函数是什么函数？

生：都是正比例函数．

〖评析〗提醒同学，在我们的现实生活中，蕴含着大量的数学问题，并用所学的数学知识去

解决一个一个的问题．

【探索新知】

师：体育课上，老师为了选拔参加运动会的选手，举行了百米赛跑比赛，小明用了13s，小

亮用了14s，小军用了12s，于是王老师选择了__________参加百米赛跑．这是因为当

路程s一定时，速度和时间成_________的两个量，也就是说，当速度越大时，时间就

越___________；当速度越小时，时间就越____________．在这个问题中，时间t与速

度v的函数关系式是__ _____________．

生：选小军参赛；成反比；少；多； t?s生补充回答． v

师：（微笑）说很好．这个问题两个变量成什么关系？

生：（自信地）高声齐答道反比例．

师：t是v的正比例函数吗？

生：不是．

师：出示投影片（试探究下列问题如何列出关系式．）（1）京沪铁路全长为1463km，某次

列车的平均速度v(km/h)随此次列车全程运行时间t(h)变化而变化；

（2）某住宅小区种植一个面积1000m的草坪，草坪的长y(m)随宽x(m)的变化而变化；

（3）已知北京市总面积为1．68×10平方千米，人均占有面积s（平方千米/人）随全

市人口n(人)的变化而变化．

生：（1）v?421463． t

1000． x师：（点点头）非常好，第二个呢？ 生：（2）y?

师：不错，下一题呢？

1.68?104

生： s?． n

师：（追问）上面三个函数有什么共同点？

生：等号右边是一个分式，常数除以变量．

〖评析〗教师深入到小组，重点关注：①学生能否发现数学问题；②学生对于数对的初步认

识；③学生能否准确列出关系式；④学生能否找到解决问题的方法．

师：（减慢语速，板书）像形如y=k(k≠0)的函数称y是x反比例函数．x是自变量，y是xx

的函数．你能自变量和函数吗？

生：（1）t是变量，v是t的函数；（2）x是变量，y是x的函数；（3）n是变量，s是n

的函数；

〖评析〗在活动中，教师应重点关注：①学生对于反比例函数的认识即两个变量成反比例乘

积为定值；②准确理解反比例函数解析式．③学生能否主动与同学合作．

师：（出示投影片）1．概念辨析下列函数中，那些是反比例函数______________________．(填

序号) (1) y?x5312，(2) y??，(3) xy?21，(4)y?，(5)y??，(6) y??3， x?22xx3x

(7) y?x?4．

2．下列两个变量之间为反比例函数的是（ ）．

A．正方形的面积s与边长a的关系．

B．正方形的周长L与边长a的关系．

C．长方形的长a，宽为20，其面积S与a的关系．

D．长方形的面积为40，长为a，宽为b，则a与b的关系．

生：1． (2)， (5) 2 ．D 师：不错．y?k(k?0)又可写为y=kx?1(k≠0) ． x

2师：当n取何值时， y?(n2?2n)xn

2?n?1是反比例函数？ 生：由题意知；n?n?1??1得n=0或-1．

师：有没有补充？

生：n?n?0故n=0应舍去应n=-1．

师：强调形如y=kx?12(k≠0)这里两个条件（1）k≠0；（2）x的指数为-1．

〖评析〗反比例函数的两个条件（1）k≠0；（2）x的指数为-1缺一不可．

师：同学们，根据我们刚才所学知识把你们课前所做的课前延伸部分检查一下．学生检查自

己的课前延伸练习．

师：好，谁来把答案说说看？

生：我第一题的答案是： y?36． x

24． h

1005生：我第三题的答案是： v? 生：y??． tx生：我第二题的答案是a?

师：你们做得很对，再来看第二大题．（出示投影片）1）已知y?(m?1)xm2?2是反比例

函数，求m的值．（2）已知：反比例函数经过A（3，2），（m，-1）．则m=_____________．

(3)近视眼的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，已知400度的近视眼镜片的焦距是 0.25米，则y与x的函数关系式是____________________．

生：第一题是：m=-1注意m=1应舍去．

师：谁来说说第二题是如何思考的？

生：第二题我是这样思考的，设y?3，2）代人求k，写出y?k

x66在把（m，-1）代人y?xx

中求m=-6．

师：这位同学讲得很好．这种方法叫待定系数法有没有其它方法？谁再来说说下一题． 生：也可用两变量积为定值．即3×2=-m，m=-6．

师：很好！下一题呢？

生： y?100． x

k100中k=100，故y?． xx师：你是怎样思考？ 生：将x=0.25，y=400代人y?

师：这里要注意两个变量的意义．

〖评析〗在学生对反比例函数有一定理解后检查自己课前延伸的练习情况，让学生自查自纠，

把学习的主动权交给学生；另外，学生在检查的同时既加强了对概念的理解又消除了预习时的一些模糊认识．

【巩固新知】

师：（边说边打开准备好的题目）现在我们再一起加深对反比例函数的理解．大家把学案中

课内探究的第一大题试试看．（同时教师也用幻灯片展示）

（1）下列函数那些是反比例函数：① y=6x，②y=x-8，③y?

?1⑤y??5x，⑥y?4?3?2，④ y?， xxk． x

2（2）当n取何值时，y?(n2?2n)xn?n?1是反比例函数？

（3）已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6，

①写出y与x的函数关系式；

②求当x=4时y的值．

出示课内探究题生分组讨论．

（1）已知甲乙两站路程是312km，一列列车从甲站开往乙站，设列车的平均速度为x

km/h，所需时间为yh

①试求y与x的关系式；

②2006年全国铁路第六次大提速前 ，这一列列车从甲站到乙站需4h，列车提速后，速度提高了26km/h，问提速后从甲站到乙站需几h?

（2）已知函数y?y1?y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x=1时，y=4，

x=2时，y=5．

①求y与x的函数关系式；②当x=-2时，求y的值．

师：第一题①关系式怎样列？ 生：y?312． x

312当y=4知x=78提速前78km/h，提速后为78+26=104km/h，312÷104=3h故 x师：很好，第二问呢？ 生：由y?

提速后需3h．

师：很好，第二问需利用第一问的结论，还需明确x，y的意义．第二题如何思考？ 生：再进行讨论．

师：由y1与x成正比例可怎样设？

生：设y1?kx．

师：y2与x成反比例可怎样设？ 生：y2?k． x

师：不错，这两个学生说的k的值一样吗？

生：不一样．

师：要加以区别．分别设k1，k2，下面请学生写出解题过程．

生：板书，教师巡视．

由题意可设，y1?k1x，y2?

y=5． k2代人y?y1?y2中，把x=1时，y=4 ； x=2时， x

?k1?k2?4k2?代人y?k1x?中，得：? ，解得k1?k2?2 ， k2x2k1??5?2?

故y?2x?2； x

当x=-2时，y=-5．

师：评析解题过程．这种解题方法叫待定系数法．板书．