151
133 设△ABC边AB、AC上的旁切圆切点为C1、B1，内切圆圆心为O，AO交外接圆于点P，PQ⊥AP交BC于Q．求
证OQ∥B1C1．
证：设AP交B1C1于E，OM⊥BC = M，B1C1交BC于N ?不妨设N存在，否则Q在无穷远点，OQ∥B1C1?． 我们首先证明∠AFC1 = ∠PMC, ∠AEB1 = ∠PNB．
AEAEBMCM
我们考察四个量 AEAEBMCM?? AB1+ AC1 = BP + CP ? ①AB1 , AC1, BP , CP ，说明有如下等式存在 ?AE?ABBM
1BP
? AE = CM ? ②AC 1
CP
AA
由张角定理知 sin A
sin 2 sin 2 AE= AB1+ AC1．
∴
AEAEABCBMAB1+ AC1= 2 cos 2 = BP= BP + CM
CP
，即①式成立． A
又∵ BM = AC1, CM = AB1，∴ ②式成立．
AEBM
B1
由①②可得 ?? AB1= BP C1
? AECM ． AC1 = CP
C
又∵ ∠CBP = ∠CAP1, ∠BCP = ∠BAP， ∴ △AEBN
Q
P
1∽△BMP, △AEG∽△CMP． ∴ ∠BMP = ∠AEB1 ? ③
由③得M、E、N、P四点共圆，∴ ∠ENM = ∠EPM ? ④ 又∵ ∠OMQ = ∠DPQ，∴ O、Q、P、M四点共圆． ∴ ∠OQM = ∠OPM ? ⑤
由④⑤得 ∠OQM = ∠ENP，∴ OQ∥B1G，得证．
评注：此题不难，关键是如何运用旁切圆切点的性质来处理B1、C1．
152
134 作一个过点B、C的圆和△ABC的内切圆相切．证明，切点和A点的高的中点，以及BC上的内切圆切点共线．
证：如图，设内切圆切三边于D、E、F，高为AH，AH中点为M． 作过两圆切点的切线，交AC于Q，BC于P，记切点为S．
设CD = i = CE, BD = j = BF, AF = k = AE，设SQ = QE = n, SP = PD = p，则由圆幂定理得 PS 2 = PC·PB ? p 2 = ?p－i??p + j? ? 111
p= i －j ? ①
又△ABC内切圆半径为r，则 r =
ijk?i + j + k?
i + j + k
=
i + j + k
?S△ABC = ijk?i + j + k? ，i + j + k是半周长? ? ②
另一方面，△PQC的旁切圆半径也为r ?P点对的旁切圆?，则 r =
pni?p－n－i?
pni
p－n－i
=
p－n－i
? ③
联立②③得
pniA
p－n－i
= ijk
i + j + k ．
T
取倒数得 1－1 －i= 1 + 1+ i
Q
nppnkjkj? ④
M
将①代入④得 1n = ji + j1
ik + k
? ⑤
B
DHC
P
设DS∩AC = T，则视DST为△PQC的截线有 QSSPPDSC CT
TQ
= 1． 将SP = PD, QS = n, SC = i代入得
CTTQ = i
n
． ki
于是可推得 AT
ki－kn－－2i－kTC= 2in?n + i?i = n?1 + i ? ⑥ n ? ij－i
将⑤代入⑥得 AT?k + i?j－ikTC= i?k + i?·i + j= k
j + ii ．
视DMT为△AHC截线得D、M、T共线 ?
ATTCCDDH HMMA = 1 ? ATCT= DH
CD
?∵ AM = MH? ? ⑦ 下面计算DH：∵ DH = BH－BD = DC－CH．
∴ DH = 11BH 2－CH 2122
2 ?BH－CH－?BD－DC?? = 2? BH + CH－?j－i?? = 2? AB －AC
BH + CH
－?j－i??
= 1?j + k? 2－2
?j－i??j + i + 2k?j－i?j－i?k2 ? ?i + k?
BC －?j－i?? = 2?j + i?
－2= j + i? ⑧ j－i
∴ ATkCT= j－ij + iki= j + ii= DH
DC
，即⑦式成立，故D、M、T三点共线，得证．
评注：本题关键是正确选择三角形与点运用梅涅劳斯定理．
153
135 P、Q在△ABC中，且满足PA + BC = PB + CA = PC + AB, QA－BC = QB－CA = QC－AB．证明P、Q与内心I三点
共线．
证：在△ABC中设内切圆⊙I与三边切于D、E、F，记△ABC半周长为s，先证PA > AF． 注意到 PA－AF = PB－BD = PC－CE = PA + BC－s = PB + CA－s = PC + AB－s． 11
∴ PA－AF = ?PA + PB + PC－AF－BD－CE? = ?PA + PB + PC－s?
33
1
= [ ?PA + PB－AB? + ?PB + PC－BC? + ?PC + PA－AC?] > 0． 6
分别作以下几个圆⊙?A, AF?, ⊙?B, BD?, ⊙?C, CE?,⊙?Q, QA + AF?, ⊙?P, PA－AF?． 同理知 QA + AF = QB + BE = QC + CE．
∴ ⊙Q与⊙A、⊙B、⊙C内切，⊙P与⊙A、⊙B、⊙C外切．
设⊙A与⊙Q切于M、⊙P与⊙Q切于N，延长MN交⊙Q于另一点M?，交PQQLPNMA
由梅氏定理，LNM截△PQA有 = 1．
PLNAQM又 MA = NA得
QLPN= ，L为⊙P、⊙Q的内位似中心． PLMQ
M'
PA
F
BDC
M
于L．
Q
LNLN
而L到⊙A的幂为 LN·LM = LM?·LM· ．LM?·LM为L到⊙Q之幂， 为⊙P、⊙Q位似比．
LM?LM?这是关于A、B、C三点不变的，故可得L到⊙A、⊙B、⊙C之幂相等．∴ L为⊙A、⊙B、⊙C根心． 又显然I为⊙A、⊙B、⊙C根心，有L = I．因此，由P、Q、L共线知P、Q、I三点共线．
评注：本题应为从I为三圆根心入手，再从PQ上寻找三圆根心L，从而相碰．题设条件中的三个相等并不是让一开始就用对称的观点处理，而是化为根心的证明中所用的“不变量”．此题有一定难度．
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