第一章 集合
§2 集合的基本关系
高中数学必修1· 精品课件
学习目标
1.了解集合间包含关系的意义；
2.理解子集、真子集的概念和意义；（重点）
3.理解空集的含义；（难点）
4.会判断简单集合的包含关系.（难点）
引入课题
元素和集合之间有属于与不属于的关系：
如A={1,2,3}，3∈A，4?A 集合与集合 之间呢？
探究点1
子集及其相关概念
问题1：观察下面两个例子，A、B两个集合之间有什么关系 ？ ①A={1,3,4}, B={1,2,3,4,5}; ②A＝｛两条边相等的三角形｝， B＝｛等腰三角形｝.
提示：①、②中集合A中的每一个元素都是集合B中的元素.
探究点1
子集
子集及其相关概念
一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素 都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A为集合B的子集.
读作：“A包含于B”(或“B包含A”) 符号语言：
探究点1
子集及其相关概念
Venn图表示集合的包含关系 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种 图称为Venn图.
B
A
探究点2
集合相等
问题2：观察下面两个例子，A、B两个集合之间有什么关系 ？ (1)A={1,2,3}, B={3,2,1}; (2)A={x|x是三条边相等的三角形}, B={x|x是三个内角相等的三角形};
提示：①、②中集合Ａ中元素和集合Ｂ中的元素相同.
探究点2
集合相等
集合相等
如果集合A是集合B的子集（A?B),且集合B是集合 A的子集（B?A），此时，集合A与集合B中的元素是 一样的，因此，集合A与集合B相等，记作: A=B 符号
探究点3
真子集
真子集
如果集合A是集合B的子集（A?B),但存在元素x∈B，且x?A，则 称集合A是集合B的真子集. 记作: A B (或 B A)
读作：“A真含于B（或“B真包含A”).
探究点4
空集
空集
(1)定义： 不含任何 元素的集合叫做空集． (2)符号表示为： ? .
(3)规定：空集是任何集合的 子集 ．
探究点5
子集的有关性质
子集的有关性质
(1)任何一个集合是它本身的 子集 ，即
A?A
.
(2)对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么 A?C .
典例精讲：题型一：子集、真子集的概念
【例1】 已知集合A＝{x|x＜2且x∈N}，B＝{x|－2＜x＜2且x∈Z}． (1)试判断集合A、B间的关系． (2)写出集合A的子集、集合B的真子集．
[思路探索] 由于A中元素x∈N ，B中元素x∈Z ，不难发现A、B均为有 限集，可用列举法将集合表示出来，再来考察集合的关系．
典例精讲：题型一：子集、真子集的概念
[解析] A＝{x|x＜2且x∈N}＝{0,1}，
B＝{x|－2＜x＜2，且x∈Z}＝{－1,0,1}． (1)A B.
(2)A的子集为：?，{0}，{1}，{0,1}， B的真子集为：?，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}．
题后反思
[ 规律方法 ] 1.写有限集
合的所有子集，首先要注意两个特殊的子
集：?和自身；其次按含一个元素的子集，含两个元素的子集…依 次写出，以免重复或遗漏． 2．若集合A含n个元素，那么它子集个数为2n；真子集个数为2n－1 ，非空真子集个数为2n－2.
变式训练
变式 1 ：已知集合 A ＝ {x|x2 － 3x ＋ 2 ＝ 0 ， x∈R} ． B ＝ {x|0 ＜ x ＜ 5 ，
x∈N}，则满足条件A?C?B的集合C的个数为 ( D )．
A．1
解析
B．2
C．3
D．4
易知A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，又A?C?B.
∴集合C可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
典例精讲：题型二：集合的相等问题
【例2】 集合{1，a，}＝{0，a2，a+b}，则a2013+b2014的值为( A.0 B.1 C.1 D.1 )．
[思路探索] 集合相等?集合的元素相同 从0,1两个特殊元素入手，显然a≠0，从而b=0,则a2=1.
典例精讲：题型二：集合的相等问题
【例2】 集合{1，a，}＝{0，a2，a+b}，则a2013+b2014的值为( A.0 B.1 C.1 D.1 )．
2，a+b} {1 ， a ， } ＝ {0 ， a [解析]
a≠0，0，
b=0,
则a2=1. 又a≠1，∴a＝－1，
∴a2 013＋b2 014＝(－1)2 013＋02 014＝－1.
答案 C.
题后反思
[注意检验] 对于集合问题，要注意检验，排除与集合元素互异性或
与已知矛盾的情形．例如本题中a＝1不满足互异性，否则会错选D.
典例精讲：题型三：参数范围问题
【例3】 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，
且B?A.求实数m的取值范围．
[思路探索] 借助数轴分析，注意B是否为空集．
[解析] ∵B?A，
(1)当B＝?时，m＋1≤2m－1，解得m≥2. 有 ， (2)当B≠?时， ， 解得－1≤m＜2， 综上得m≥－1.
－3 2m－1
m＋ 1 4
x
题后反思
1.涉及两个数集间包含关系求参数范围问题，通常借助数轴，将各
个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做
到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点
表示．这种方法称为“数形结合” ，是一种重要的数学解题思想. 2．对于B?A且集合B含有参数这类问题要注意对空集的讨论．
课堂练习
1．已知集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a满足
( )．
A．a＜4
C．a＞4 [ 解 析 ] 由 A a≥4. 答案 D
B．a≤4
D．a≥4 B，结合数轴，得
课堂练习
2 ．已知集合 A ＝ {2,9} ，集合 B ＝ {1 － m,9} ，且 A ＝ B ，则实数 m ＝
________.
[解析] ∵A＝B，∴1－m＝2，∴m＝－1. 答案 －1.
课堂练习
3．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集． [解析] ∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，
∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
∴ A 的 子 集 有 ： ? ， {(0,2)} ， {(1,1)} ， {(2,0)} ， {(0,2) ， (1,1)} ，
{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
归纳小结
1. 子集和真子集
2. 空集 知识点
3. 子集的性质
4. 集合相等 思想方法： 数形结合思想 分类讨论思想