综合题专项强化训练

1.已知抛物线y的部分图象如图1所示. x?2x?c1?

图1 图2

2

（1）求c的取值范围；

（2）若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线y的解析式； x?2x?c1?（3）若反比例函数y2?

2

k

的图象经过（2）中抛物线上点（1，a），试在图2所示直角坐标系中，画出该x

反比例函数及（2）中抛物线的图象，并利用图象比较y1与y2的大小. 解：（1）根据图象可知c?0………………1分

且抛物线y与x轴有两个交点所以一元二次方程x?有两个不等的实数根.所x?2x?c2x??c01?以?，且c?0所以c?………………2分 ??24c?44?c?01???

2

2

2

x?2x?c（2）因为抛物线经过点（0，-1）把x代入y得c故所求抛物线的解析?0，y?1??11?1?x?2x?1式为y………………3分 1?

（3）因为反比例函数y2?

2

2

k2

的图象经过抛物线y上的点（1，a）把x代入?1，ya?x?2x?111?x

k?22

y?，得把代入，得所以………………4分 y?y?x?2x?1x?1，a??2a??2k??2221

xx

?2

画出y2?的图象如图所示.观察图象，y1与y2除交点（1，-2）外，还有

x

1，2和2，?1把x??1，y2?2，y?1两个交点大致为?和x2?2?

x?2x?1分别代入y和y2?1?

的两个交点………………5分

根据图象可知：当x或0或x?时，y??1?x?121?y2;

当x时，y时，y??1或x?1或x?21??x

01或??x21?y2;当?2?y1………………6分

1

2

????

?2

1，2?和?2，?1y2可知，??是y1与?x

2. 如图1，已知直线y??

11

x与抛物线y??x2?6交于A，B两点． 24

（1）求A，B两点的坐标；

（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；

（3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A，B两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A，B构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

图1

图2

12?y??x?6??x1?6?x2??4?4

?3)，B(?4，2)……..3分 （1）解：依题意得?解之得? ?A(6， ?

1y??3y?2?1?2?y??x??2

（2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C，D两点，交AB于M（如图

1）

由（1）可知：

OA?OB?········································································

4分 ?AB? ?OM?

1 AB?OB?

2图1

过B作BE⊥x轴，E为垂足

OCOM5

??OC?， 由△BEO∽△OCM，得：

OBOE4

55??5??

同理：OD?，·························· 5分 ?C?，0?，D?0，?? ·

22??4??

设CD的解析式为y?kx?b(k?0)

5?

0?k?b?k?2???4

?? ??········································································

······· 6分 5 ·

??5?b?b??2???2

2

?AB的垂直平分线的解析式为：y?2x?

． 2

（3）若存在点P使△APB的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线

1

y??x?m上，并设该直线与x轴，y轴交于G，H两点（如图2）．

2

1?y??x?m?11?2?x2?x?m?6?0; ??

2?y??1x2?64

??4

251?23??1?

抛物线与直线只有一个交点，?????4?(m?6)?0，?m??P?1?

44?4??2?

在直线GH：y??

2

125

x?中， 24

?25??25?

?G?0?，H?

0?

?2??4? 设O到GH的距离为d

，

?GH?

11

?

GHd?OGOH22112525????

2224

?d?AB∥GH，

?P到AB的距离等于O到GH的距离d．?S最大面积?

图2

11125

ABd???

224

3.如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象

限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B. （1）点P在运动时，线段AB的长度页在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由； （2）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

解：（1）线段AB长度的最小值为4.理由如下：连接OP

,因为AB切⊙O于P，所以OP⊥AB,取AB的中点C，

3

则…………3分

当OC?OP时，OC最短，即AB最短，此时AB?4…………4分 （2）设存在符合条件的点Q，

如图①，设四边形APOQ为平行四边形，因为四边形APOQ为矩形,又因为OP?OQ,所以四边形APOQ为正方形,所以OQ?QA,?QOA?45?，在Rt△OQA中，根据OQ?2,?AOQ?45?，得Q点坐标为（2,?2）. …………7分

图①

图②

?APO?90?，如图②，设四边形APQO为平行四边形,因为OQ∥PA，所以?POq?90?，又因为OP?OQ

所以?PQO?45?，因为 PQ∥OA，所以 PQ?y轴.设PQ?y轴于点H，在Rt△OHQ中，根据

OQ?2,?HQO?45?，得Q点坐标为（?2,2）所以符合条件的点Q的坐标为（2,?2）或

（?2,2）.

4.如图，抛物线y?ax?8ax?12a(a?0)与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ACB为直角,且恰使△OCA∽△OBC.(1)求线段OC的长.(2)求该抛物线的函数

关系式．(3)在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由.

解：（1）解：由ax－8ax+12a＝0（a＜0）得x1?2,x2?6,OA=2,OB=6……1分 ∵△OCA∽△OBC∴ＯＣ＝ＯＡ·ＯＢ＝２×６……2分

4

2

2

2