数的开方知识点及复习
知识点一：平方根
（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根。
（2）开平方：求一个数a的平方根的运算叫做开平方.
（3）平方根的表示：a的平方根记作:?a或?a 。a叫做被开方
（4）求一个数的平方根的方法：利用平方和开平方互为逆运算
（5）平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数②0有一个平方根，它是0本身③负数没有平方根。
（6）算术平方根的定义：非负数a的正的平方根。
（7）算术平方根表示：一个非负数a的平方根用符号表示为：“a”，读作：“根号a”，其中a叫做被开方数
（8）算术平方根的性质:①正数a的算术平方根是一个正数；②0的算术平方根是0；③负数没有算术平方根。 注1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质； (a≥0)是一个非负数, 即
≥0;
2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；
3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1;
4).非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：
( )2=a(a≥0)；
5）.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即
=|a|=
6).平方根有三种表示形式：±a ，a ，－a，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平 方 根，非负数a的负平方根。要特别注意： a≠±a
7).平方根与算术平方根的区别与联系：
区别：①定义不同 ②个数不同： ③ 表示方法不同：
联系:①具有包含关系： ②存在条件相同： ③ 0的平方根和算术平方根都是0。
知识点二、立方根：
（1）立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（也叫三次方根）。如果x3=a，则x叫做a的立方根。记作：x?a ,读作“三次根号a” 。
（2）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方
（3）求一个数的立方根的方法：利用立方和开立方互为逆运算
（4）立方根的性质①一个正数有一个正的立方根，即若a>0，则 a?0②一个负数有一个负的立方根，即若a<0，则a?0③0的立方根是0，即若a=0，则a?0 。
注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；
2）立方根等于本身的数有0、1、-1.
典型例题:
例1、x为何值时，下列代数式有意义。
（1）3?2x （2）x?2?2?x （3）x2?3 （4）
1
1x?1 （5）x?12 （6）?(x?1) x?1
例2、已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的平方根是?4，求a+2b的平方根。
例3、若x、y都是实数，且y?
例4、如果M?a?a?b?3是a+b+3的算术平方根，N?a?2ba?2b是a+2b的立方根，求M－N的立方根。
x?3?3?x?2，求x+3y的平方根。
例5．已知：
练习：
1、填空： =0，求实数a, b的值。
（1）0.25的平方根是 ;９的算术平方根是 , 的平方根是 。
（2）?22的相反数是 ，3的倒数是 ， ?1的绝对值是 ；
25（3）（3）81? ，?16= ，(?3)2。
（4）当x 时, 2x?1有意义；若x?
义；当m______时，3m?3有意义
（5）的平方根是______，4的算术平方根是______，
的平方根是_______
的立方根是 。
（6）若一个正数的平方根是2a?1和?a?2，则a?____，这个正数是
（7
）如果有是m的一个平方根,那么m的算术平方根是___________;
（8）计算：
?x有意义，则x ；当m______时，?m有意
（9）已知2a?1?(b?3)2?0，则2ab? ；(a+2)2＋|b－1|＋3－c＝0，则a＋b＋c＝ 。 3
3（10）某种洗衣机的包装箱是长方形,其高为1.2m , 体积为1.2m, 底面是正方形,则该包装箱的底面边长
为 m.
（11）已知△ABC的三边长分别为a、b、c,
b?4?(c?3)2?0,则此△ABC的周长= 。
（12）请你观察、思考下列计算过程：因为11?121，所以2?11，同样，因为1112?12321，所以
=________________． ?111?由此猜想7654321
2、选择：
（1）一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是（ ）．A、 1 B、 0 C、 -1 D、1，-1或0
（2）下列各式中无意义的是( )A、 ? B、 ? C、
（3）下列说法正确的是( )
2
?32 D 、??32
（5）下列说法中，正确的是（ ）． （4）有理数中，算术平方根最小的是（ ） A 、1 B 、0 C、0.1 D、不存在
A、27的立方根是3，记作27=3 B、-25的算术平方根是5
C、a的三次立方根是?a D、正数a的算术平方根是a
（6）a的值是（ ）．（A） 是正数 （B） 是负数 （C） 是零 （D） 以上都可能
（7）若x2???0.7?，则x?（ ）．（A）-0.7 （B）±0.7 （C）0.7 （D）0.49 2
（8）下列等式：①113?，②?2??2，③168?22?2，④?8??⑤??4，⑥?4??2； 正 确的有（ ）个．（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
（9）设x、y为实数，且y?4??x?x?5，则x?y的值是（ ）A、1 B、9 C、4 D、5
（10）下列说法中正确的是（ ）．
A、4是8的算术平方根 B、16的平方根是4 C、6是6的平方根 D、?a没有平方根
（11）下列各式中错误的是（ ）．
A、?.36??0.6 B、.36?0.6 C、?.44??1.2 D、.44??1.2
（12）下列计算中正确的是（ ）．
A、?2?2?2 B、?9??9?4?3?1 C、?12?4?2 D、4a2?2a
33 3、求下列各数的平方根和算术平方根：
（1）
4、计算：
（1）256 （2）?.44 （3）?
252 （2）??4? （3）??2????8?． 416 （4）0.01 25
721?2?（5）??? （6）?4 （7）.125-3+(1?) 168?3?
（8）(?)?(?6)??() （9）?32?2?4
3
2132245?1 2
5、解方程：
2（1）4x?9 （2）?x?1??1 （3）?5?3x??22121?0． 49
（4）(x+3)=27 （5）(2x?1)3??8 （6）64(x-1)+125=0 33
6、已知实数a,b,c
满足
27、a、b在数轴上的位置如图所示，化简：(a?1)?11a?b(c?)2?0，求a(b?c)的值. 22(b?1)2?(a?b)2．
8、已知2x-1的平方根是±3，3x+y-1的平方根是±4，求x+2y的平方根。
9、已知：实数a、b满足条件a?1?(ab?2)2?0 试求
知识点三：实数基础知识
1．无理数的定义:（ ）叫做无理数
2．有理数与无理数的区别： 有理数总可以用（ ）或（ ）表示；反过来，任何（ ） 或（ ）也都是有理数。而无理数是（ ）小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。
有理数可以化成（ ），无理数不能化成（ ）。
3.常见的无理数类型
4
1111??????的值． ab(a?1)(b?1)(a?2)(b?2)(a?2004)(b?2004)