直线与圆锥曲线的位置关系学案

导学目标： 1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想．

自主梳理

1．直线与椭圆的位置关系的判定方法

(1)将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，若Δ>0，则直线与椭圆________；若Δ＝0，则直线与椭圆________；若Δ<0，则直线与椭圆________．

(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法

将直线方程与双曲线方程联立消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0.

①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线________；当Δ＝0时，直线与双曲线________；当Δ<0时，直线与双曲线________．

②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有________交点．

(3)直线与抛物线位置关系的判定方法

将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0. ①当a≠0，用Δ判定，方法同上．

②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴________，只有________交点．

2．已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程

x2y2

(1)AB是椭圆＋＝1 (a>b>0)的一条弦，M(x0，y0)是AB的中点，则kAB＝________，abkAB·kOM＝__________.点差法求弦的斜率的步骤是： 22x1y2x2y212＋＝1，＋＝1. abab2222xxyy②两等式对应相减：－＋－＝0. aabby1－y2b2?x1＋x2?b2x③分解因式整理：kAB＝ay0x1－x2a?y1＋y2?

x2y2

(2)运用类比的手法可以推出：已知AB是双曲线－＝1的弦，中点M(x0，y0)，则kABab2＝__________________.已知抛物线y＝2px (p>0)的弦AB的中点M(x0，y0)，则kAB＝

____________.

3．弦长公式

直线l：y＝kx＋b与圆锥曲线C：F(x，y)＝0交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则|AB|＝1＋k|x1－x2| ＝1＋k?x1＋x2?－4x1x2

11或|AB|＝ 1＋y1－y2|＝ 1＋?y1＋y2?－4y1y2. kk自主梳理答案:

1．(1)相交 相切 相离 (2)①相交 相切 相离 ②一个

b2x0b2b2x0p(3)②平行 一个 2.(1)－－ (2)ay0aay0y0

自我检测

1．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是( )

A．4 B．33 C．43 D．8

22．与抛物线x＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线的焦点坐标是( )

1?A．(1,0) B.??160?

C．(－1,0)

x2y2

3．已知曲线＋＝1和直线ax＋by＋1＝0 (a、b为非零实数)，在同一坐标系中，它ab

们的图形可能是( ) 10，－? D.?16??

1→→0，－的直线l与抛物线y＝－x2交于A、4．过点?B两点，O为坐标原点，则OA·OB的2?

值为(

)

11A．－ B．－ 24

自我检测答案

1．C 2.C 3.C 4.B

C．－4 D．无法确定

探究点一 直线与圆锥曲线的位置关系

例1 k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？

解题导引 用直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，也就是用代数的方法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法．方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数，若含参数，需按二次项系数是否为零进行分类讨论，只有二次项系数不为零时，方程才是一元二次方程，后面才可以用判别式Δ的符号判断方程解的个数，从而说明直线与圆锥曲线的位置关系．

?y＝kx＋2，?解 由?2得2x2＋3(kx＋2)2＝6， 2??2x＋3y＝6，

即(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，

Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝72k2－48.

66当Δ＝72k2－48>0，即k>或k<－ 33

66当Δ＝72k2－48＝0，即k＝k时，直线和曲线有一个公共点； 33

66当Δ＝72k2－48<0，即－k<时，直线和曲线没有公共点． 33

1变式迁移1 已知抛物线C的方程为x2＝y，过A(0，－1)，B(t,3)两点的直线与抛物线2

C没有公共点，则实数t的取值范围是( )

A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

22B.??∪?，＋∞? 2??2??

C．(－∞，－2)∪(22，＋∞)

D．(2)∪(2，＋∞) 4变式迁移1 D [直线AB的方程为y＝x－1(t＝0时不合题意，舍去)，与抛物线方程t

1214x2＝y联立得x2－＋＝0，由于直线AB与抛物线C没有公共点，所以Δ＝－2<0，解得2t2t

t>2或t<2.]

探究点二 圆锥曲线中的弦长问题

x22例2 如图所示，直线y＝kx＋b与椭圆y＝1交于A、B两点，

4

记△AOB的面积为S.

(1)求在k＝0,0<b<1的条件下，S的最大值；

(2)当|AB|＝2，S＝1时，求直线AB的方程．

解题导引 本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．“设而不求”是解决直线与圆锥曲线交点问题的基本方法．当所求弦为焦点弦时，可结合圆锥曲线的定义求解．

x22解 (1)设点A的坐标为(x1，b)，点B的坐标为(x2，b)，由y＝1，解得x1,2＝±1－b， 4

1所以S＝b|x1－x2|＝2b1－b≤b2＋1－b2＝1. 2

2当且仅当b时，S取到最大值1. 2

y＝kx＋b??2222(2)由?x得(4k＋1)x＋8kbx＋4b－4＝0， 2y＝1??4

Δ＝16(4k2－b2＋1)．①

16?4k－b＋1?|AB|＝1＋k|x1－x2|＝1＋k＝2.② 4k＋1|b|2S又因为O到AB的距离d＝＝＝1， 1＋k|AB|

所以b2＝k2＋1.③ 将③代入②并整理，得4k4－4k2＋1＝0，

13解得k2b2＝，代入①式检查，Δ>0. 22

26262626故直线AB的方程是：y＝＋yx－或y＝－＋y＝－x－. 22222222

3 变式迁移2 已知椭圆的两焦点为F1(－3，0)，F2(3，0)，离心率e＝2

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设直线l：y＝x＋m，若l与椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．

x2y2变式迁移2 解 (1)设椭圆方程为1 (a>b>0)， ab

c3则c3∴a＝2，b＝1. a2

x22∴所求椭圆方程为y＝1. 4

y＝x＋m，??2(2)由?x消去y得关于x的方程： 2y＝1，??4

5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，

则Δ＝64m2－80(m2－1)>0，解得m2<5.(*)

8设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－m， 5

24?m－1?x1x2＝y1－y2＝x1－x2， 5

∴|PQ|＝?x1－x2?＋?y1－y2?＝2?x1－x2? 816－m?2－?m2－1??＝2， ＝ 2????5?5?

1530解得m2＝，满足(*)，∴m＝. 84

探究点三 求参数的范围问题

例3 直线m：y＝kx＋1和双曲线x2－y2＝1的左支交于A、B两点，直线l过点P(－2,0)和线段AB的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围．

解题导引 直线与圆锥曲线的位置关系从代数的角度来看，就是直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组有无解的问题，结合判别式Δ研究，利用设而不求与整体代入等技巧与方法，从而延伸出一些复杂的参数范围的研究．

??y＝kx＋1解 由?22 (x≤－1) ?x－y＝1?

得(k2－1)x2＋2kx＋2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

?x＋x＝2k<01－k则?－2xx＝?1－k121200

0Δ＝4k2＋8?1－k2?>0 ，∴1<k2. ??设M(x，y)，由?y＋y1y＝＝?2?1－kx0＝12x1＋x2k＝21－k，

x2

变式迁移3 在平面直角坐标系xOy中，经过点(02)且斜率为k的直线l与椭圆2y2＝1有两个不同的交点P和Q.

(1)求k的取值范围；

→(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量OP

→→＋OQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

设l与y轴的交点为Q(0，b)，则由P(－2,0)， k12M?1－k1－k?，Q(0，b)三点共线得b＝ ??－2k＋k＋2设f(k)＝－2k2＋k＋2，则f(k)在(12)上单调递减， ∴f(k)∈(－2＋2，1)， ∴b∈(－∞，－2－2)∪(2，＋∞)．