高中数学讲义 排列数组合数的计算与证明

知识内容

1．基本计数原理

⑴加法原理

分类计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N?m1?m2??mn种不同的方法．又称加法原理．

⑵乘法原理

分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个子步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同方法，……，做第n个步骤有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N?m1?m2??mn种不同的方法．又称乘法原理．

⑶加法原理与乘法原理的综合运用

如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．

分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．

2． 排列与组合

⑴排列：一般地，从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）

排列数：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Am

n表示．

(n?m?1)，m，n?N?，并且m≤n． 排列数公式：Amn?n(n?1)(n?2)

全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列． n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用n!表示．规定：0!?1．

⑵组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合．

组合数：从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号Cm

n表示． 组合数公式：Cm

n?n(n?1)(n?2)(n?m?1)n!?，m,n?N?，并且m≤n． m!m!(n?m)!

n?mmm?1组合数的两个性质：性质1：Cm；性质2：Cm．（规定C0

n?Cnn?1?Cn?Cnn?1）

⑶排列组合综合问题

思维的发掘 能力的飞跃 1

高中数学讲义

解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：

1．特殊元素、特殊位置优先法

元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；

位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；

2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．

3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．

4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．

5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．

6．插板法：n个相同元素，分成m(m≤n)组，每组至少一个的分组问题——把n个元素排成一排，

m?1从n?1个空中选m?1个空，各插一个隔板，有Cn?1．

7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n堆（组），必须除以n！，如果有m堆（组）元素个数相等，必须除以m！

8．错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当n?2，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．

1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；

③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数． 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．

2．具体的解题策略有：

①对特殊元素进行优先安排；

②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；

③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；

④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；

⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．

⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．

典例分析

排列数组合数的简单计算

【例1】 对于满足n≥13的正整数n，?n?5??n?6?...?n?12??（ ）

7812A．A7

n?12 B．An?5 C．An?5 D．An?5

2 思维的发掘 能力的飞跃

【例2】 计算Α3

7?______． 高中数学讲义

3【例3】 计算A10，A6

6；

2【例4】 计算C7?______，C5

7?_______．

36【例5】 计算C10，C8；

434823【例6】 计算A3

7，A10，C7，C50，C19?C19．

Α3【例7】 已知Α4

2n?1?140n，求n的值．

【例8】 解不等式A8x?6A8x?2

878【例9】 证明：A9

9?9A8?8A7?A8．

思维的发掘 能力的飞跃 3

高中数学讲义

2【例10】 解方程A3

2x?100Ax．

xx?2【例11】 解不等式A8． ?6A8

2【例12】 解方程：11C3

x?24Cx?1

m?1m?3C8【例13】 解不等式：C8．

?5?【例14】 设[x]表示不超过x的最大整数（如[2]?2，???1），对于给定的n?N?，定义?4?

xCn?n(n?1)

x(x?1)(n??x??1)?3?x3?时，函数C8???，则当x??，，x??1，的值域是（ ） 2(x?x?1)???16??16?A．?,28? B．?,56? ?3??3?28?16??28???4,28,56C．?4, D．?????,28? ?3?3??3???

n、r?Z?恒等于（ ） 【例15】 组合数Cr

n?n?r≥1，

A．

r?1r?1nr?1r?1?1nrC C． D．Cn?1 B．?n?1??r?1?CrCn?1 n?1n?1n?1r

4 思维的发掘 能力的飞跃