第一章 章末复习课

课时目标

1．掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题．

2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

一、选择题

1．在△ABC中，A＝60°，a＝43，b＝2，则B等于( ) A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对 答案 C

sin A2

解析 sin B＝bb<a，∴B＝45°.

a2

2．在△ABC中，已知cos Acos B>sin Asin B，则△ABC是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 答案 C

解析 cos Acos B>sin Asin B?cos(A＋B)>0， ∴A＋B<90°，∴C>90°，C为钝角．

3．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是( ) A．(2，＋∞) B．(－∞，0)

11

－0? D.?? C.??2??2?答案 D

解析 由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)， c＝2mk(m>0)， ???a＋b>c?m?2k＋1?>2mk1∵? 即?，∴k>2?a＋c>b?3mk>m?k＋1???

4．如图所示，D、C、B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C、D两点测得A点的仰

角分别是β、α(β<α)．则A点离地面的高AB等于( )

asin αsin βasin αsin βA. B.sin?α－β?cos?α－β?asin αcos βacos αcos β sin?α－β?cos?α－β?答案 A

h

解析 设AB＝h，则AD＝

sin α

CDAD

在△ACD中，∵∠CAD＝α－βsin?α－β?sin β

ahasin αsin β∴＝，∴h＝. sin?α－β?sin αsin βsin?α－β?5．在△ABC中，A＝60°，AC＝16，面积为3，那么BC的长度为( ) A．25 B．51 C．3 D．49 答案 D

113

解析 S△ABC＝AC·AB·sin 60°×16×AB×＝3，∴AB＝55.

222

1

∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝552＋162－2×16×552 401.

2

∴BC＝49. 6．(2010·天津)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b23bc， sin C＝3sin B，则A等于( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案 A

解析 由sin C＝3sin B，根据正弦定理，得 c＝3b，把它代入a2－b2＝3bc得 a2－b＝6b2，即a2＝7b2.

b2＋c2－a2b2＋12b2－7b2

由余弦定理，得cos A＝＝

2bc2b3b

6b23＝2243b又∵0°<A<180°，∴A＝30°. 二、填空题

7．三角形两条边长分别为3 cm,5 cm，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是________cm2.

答案 6

3

解析 由5x2－7x－6＝0，解得x1＝－，x2＝2.

5

3

∵x2＝2>1，不合题意．∴设夹角为θ，则cos θ＝－

5

414

得sin θS×3×5×6 (cm2)．

525

a

8．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC3，则____________.

sin A

239答案

3

11解析 由S＝sin A1×c3，∴c＝4.

222

∴ab＋c－2bccos A＝1＋4－2×1×4cos 60°

＝a13239∴sin Asin 60°3

9．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是 ______________． 答案 2<x<22

解析 因为三角形有两解，所以a

sin B<b<a，

2

即<2<x，∴2<x<22. 2

10．一艘船以20 km/h的速度向正北航行，船在A处看见灯塔B在船的东北方向，1 h后船在C处看见灯塔B在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC等于________km.

答案 2

BCAC

sin 45°sin 30°

AC202

∴BC＝sin 45°＝×

sin 30°12

2解析 如图所示，

＝2 (km)． 三、解答题

11．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试确定△ABC的形状．

解 由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， 得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，

b2＋c2－a2bc1222

即a＝b＋c－bc，∴cos A＝＝

2bc2bc2

π∴A＝.

3

a2＋b2－c2a2＋b2－c2

又sin A＝2sin Bcos C．∴a＝2b＝

2aba

∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等边三角形．

12．在△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角． (1)求最大角的余弦值；

(2)求以此最大角为内角，夹此角的两边之和为4的平行四边形的最大面积． 解 (1)设这三个数为n，n＋1，n＋2，最大角为θ，

n2＋?n＋1?2－?n＋2?2

则cos θ＝，

2·n·?n＋1?

化简得：n2－2n－3<0?－1<n<3. ∵n∈N*且n＋(n＋1)>n＋2，∴n＝2.

4＋9－161

∴cos θ＝.

42×2×3

(2)设此平行四边形的一边长为a，则夹θ角的另一边长为4－a，平行四边形的面积为：

1515

S＝a(4－a)·sin θ＝(4a－a2)＝[－(a－2)2＋4]15.

44

当且仅当a＝2时，Smax15. 能力提升

1

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C4

(1)求sin C的值；

(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长．

1

解 (1)∵cos 2C＝1－2sin2C＝－，0<C<π，

4

∴sin C＝.

4

ac

(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，由正弦定理，

sin Asin C

得c＝4.

1

由cos 2C＝2cos2C－1＝－及0<C<π，

4

6

得cos C＝.

4

由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C， 得b26b－12＝0(b>0)， 解得b＝6或26，

?b＝6，?b＝

6，∴?或? ?c＝4?c＝4.

14．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．

解 设BD＝x，在△ABD中，由余弦定理有

AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，

222

即14＝x＋10－20xcos 60°， 2

∴x－10x－96＝0，∴x＝16(x＝－6舍去

)， 即BD＝16.

BCBD

在△BCD中，由正弦定理＝

sin∠CDBsin∠BCD

16sin 30°

∴BC＝＝2.

sin 135°

1．在解三角形时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一起用，要注意恰当的选取定理，简化运算过程．

2．应用正、余弦定理解应用题时，要注意先画出平面几何图形或立体图形，再转化为解三角形问题求解，即先建立数学模型，再求解．