1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：
设：??lim
n??
???1时，级数收敛?
un，则???1时，级数发散
???1时，不确定?
2、比值审敛法：
???1时，级数收敛
Un?1?
设：??lim，则???1时，级数发散
n??U
n???1时，不确定
?3、定义法：
sn?u1?u2???un;limsn存在，则收敛；否则发
n??
散。
交错级数u1?u2?u3?u4??(或?u1?u2?u3??,un?0)的审敛法??un?un?1
如果交错级数满足?limu?0，那么级数收敛且其和
??n??n
绝对收敛与条件收敛：
(1)u1?u2???un??，其中un为任意实数；(2)u1?u2?u3???un??
如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对如果(2)发散，而(1)收敛，则称调和级数：? 级数：?
1nn
发散，而收敛；
?１时发散p?1时收敛
收敛级数；
——莱布尼兹定理：
s?u1,其余项rn的绝对值rn?un?1。
(1)为条件收敛级数。
n
?
(?1)n
1
2
p级数：?
1n
p
幂级数：
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1?x?x?x???x??23n
x?1时，收敛于x?1时，发散
11?x
对于级数(3)a0?a1x ?a2x???anx??，如果它不是仅在原点
x?R时收敛
数轴上都收敛，则必存
在R，使
2n
收敛，也不是在全
x?R时发散，其中R称为收敛半径。x?R时不定
1
??0时，R?
求收敛半径的方法：设
lim
an?1an
??，其中an，an?1是(3)的系数，则
?
n??
??0时，R???????时，R?0
函数展开成幂级数：
函数展开成泰勒级数：余项：Rn?
f
(n?1)
f(x)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)
n?1
f??(x0)2!
(x?x0)???
2
f
(n)
(x0)
n!
(x?x0)??
n
(?)
(n?1)!
,f(x)可以展开成泰勒级数的
f??(0)2!
2
充要条件是：limRn?0
n??
x0?0时即为麦克劳林公式：
f(x)?f(0)?f?(0)x?x???
f
(n)
(0)
n!
x??
n
一些函数展开成幂级数： (1?x)
m
?1?mx?x
3
m(m?1)
2!
x???
n?1
2
m(m?1)?(m?n?1)
n!
x?? (?1?x?1)
n
sinx?x?
3!
?
x
5
5!
???(?1)
x
2n?1
(2n?1)!
?? (???x???)
欧拉公式：
ix?ix
?e?e?cosx??2
?cosx?isinx 或? ix?ix
?sinx?e?e?2?
e
ix
三角级数：
?
f(t)?A0?
?A
n?1
n
sin(n?t??n)?
a02
?
?
?(a
n?1
n
cosnx?bnsinnx)
其中，a0?aA0，an?Ansin?n，bn?Ancos?n，?t?x。
正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x?sinnx,cosnx?任意两个不同项的乘积上的积分＝0。
在[??,?]
傅立叶级数：
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f(x)?
a02
?
?
?(a
n?1
n
cosnx?bnsinnx)，周期?2?
?1a??n
??
其中?
1?bn????1? 12
2
?
?
??
f(x)cosnxdx (n?0,1,2?)
?
?
??
f(x)sinnxdx (n?1,2,3?)
13?
2
?14
2
15
2
???16
2
?
2
8
1?
122
2
??
133
2
??
144
2
??????
??
2
6
????
?
2
24
1?2
?
1
2
1
2
1
2
2
12
正弦级数：
an?0，bn?
?2
?
f(x)sinnxdx n?1,2,3? f(x)?
?b
a02
n
sinnx是奇函数
?
余弦级数：
bn?0，an?
?
?
f(x)cosnxdx n?0,1,2? f(x)??
?a
n
cosnx是偶函数
周期为2l的周期函数的傅立叶级数：
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f(x)?
a02
?
?
?(a
n?1
n
cos
n?xl
?bnsin
n?xl
)，周期?2l
l
?1n?x
dx (n?0,1,2?)?an??f(x)cos
ll??l
其中?
l1n?x?
bn??f(x)sindx (n?1,2,3?)?ll?l?
微分方程的相关概念：
一阶微分方程：
y??f(x,y) 或 P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0
：一阶微分方程可以化
为g(y)dy?f(x)dx的形式，解法：
可分离变量的微分方程
?g(y)dy??
yx
f(x)dx 得：G(y)?F(x)?C称为隐式通解。
程可以写成dudx，u?
dudx
dydx
?f(x,y)??(x,y)，即写成
dxx?
du
yx
的函数，解法：
yx
齐次方程：一阶微分方设u?
，则
dydx
?u?x
??(u)，?
?(u)?u
分离变量，积分后将代替u，
即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程： 1、一阶线性微分方程：
dydx
?P(x)y?Q(x)
?P(x)dx
y?Ce?
当Q(x)?0时,为齐次方程，
当Q(x)?0时，为非齐次方程，2、贝努力方程：
dydx
y?(?Q(x)e?
n
P(x)dx
dx?C)e?
?P(x)dx
?P(x)y?Q(x)y，(n?0,1)
全微分方程：
如果P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函数的全微du(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0，其中：?u(x,y)?C应该是该全微分方程的
通解。
?u
分方程，即：
?u
?P(x,y)?Q(x,y) ?x?y
二阶微分方程： dydx
22
?P(x)
dydx
?Q(x)y?f(x)f(x)?0时为齐次f(x)?0时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
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