算法分块总结

为备战2005年11月4日成都一战，特将已经做过的题目按算法分块做一个全面详细的总结，主要突出算法思路，尽量选取有代表性的题目，尽量做到算法的全面性，不漏任何ACM可能涉及的算法思路。算法设计中，时刻都要牢记要减少冗余，要以简洁高效为追求目标。另外当遇到陌生的问题时，要想方设法进行模型简化，转化，转化成我们熟悉的东西。

图论模型的应用

分层图思想的应用：

用此思想可以建立起更简洁、严谨的数学模型，进而很容易得到有效算法。重要的是，新建立的图有一些很好的性质：

由于层是由复制得到的，所以所有层都非常相似，以至于我们只要在逻辑上分出层的概念即可，根本不用在程序中进行新层的存储，甚至几乎不需要花时间去处理。由于层之间的相似性，很多计算结果都是相同的。所以我们只需对这些计算进行一次，把结果存起来，而不需要反复计算。如此看来，虽然看起来图变大了，但实际上问题的规模并没有变大。

层之间是拓扑有序的。这也就意味着在层之间可以很容易实现递推等处理，为发现有效算法打下了良好的基础。

这些特点说明这个分层图思想还是很有潜力的，尤其是各层有很多公共计算结果这一点，有可能大大消除冗余计算，进而降低算法时间复杂度。

二分图最大及完备匹配的应用：

ZOJ place the robots:

二分图最优匹配的应用：

最大网络流算法的应用：典型应用就求图的最小割。

最小费用最大流的应用：

容量有上下界的最大流的应用：

欧拉路以及欧拉回路的应用：主要利用求欧拉路的套圈算法。

最小生成树：

求最小生成树，比较常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。前者借助Fibonacci堆可以使复杂度降为O(Vlog2V+E)，后者一般应用于稀疏图，其时间复杂度为O(Elog2V)。

最小K度限制生成树：

抽象成数学模型就是：

设G=(V,E,ω)是连通的无向图，v0 ∈V是特别指定的一个顶点,k为给定的一个正整数。 首先考虑边界情况。先求出问题有解时k 的最小值：把v0点从图中删去后，图中可能会出 现m 个连通分量，而这m 个连通分量必须通过v0来连接，所以，在图G 的所有生成树中 dT(v0)≥m。也就是说，当k<m时，问题无解。

再根据上述定理，得出算法的框架：

下面分别考虑每一步

首先，将 v0和与之关联的边分别从图中删去，此时的图可能不再连通，对各个连通分量，

分别求最小生成树。接着，对于每个连通分量V’，求一点v1，v1∈V’,且ω(v0,v1)=min{ω(v0,v’)|v’∈V’}，则该连通分量通过边(v1,v0)与v0相连。于是，我们就得到了一个m度限制生成树，

不难证明，这就是最小m度限制生成树。

这一步的时间复杂度为O(Vlog2V+E)

我们所求的树是无根树，为了解题的简便，把该树转化成以v0为根的有根树。

假设已经得到了最小p度限制生成树，如何求最小p+1 度限制生成树呢？在原先的树中加入一条与v0相关联的边后，必定形成一个环。若想得到一棵p+1 度限制生成树，需删去一条在环上的且与v0无关联的边。删去的边的权值越大，则所得到的生成树的权值和就越小。动态规划就有了用武之地。设Best(v)为路径v0—v上与v0无关联且权值最大的边。

定义father(v)为v的父结点，动态转移方程：

Best(v)=max(Best(father(v)),(father(v),v))，

边界条件为Best[v0]=-∞，Best[v’]=-∞| (v0,v’)∈E(T)。

状态共|V|个，状态转移的时间复杂度O(1)，所以总的时间复杂度为O(V)。

故由最小p度限制生成树得到最小p+1度限制生成树的时间复杂度为O(V)。

1 先求出最小m度限制生成树；

2由最小m度限制生成树得到最小m+1度限制生成树;

3 当dT(v0)=k时停止。

加边和去边过程，利用动态规划优化特别值得注意。

次小生成树：

加边和去边很值得注意。

每加入一条不在树上的边，总能形成一个环，只有删去环上的一条边，才能保证交换后仍然是生成树，而删去边的权值越大，新得到的生成树的权值和越小。

具体做法：

首先做一步预处理，求出树上每两个结点之间的路径上的权值最大的边，然后，枚举图中不在树上的边，有了刚才的预处理，我们就可以用O(1)的时间得到形成的环上的权值最大的边。 如何预处理呢？因为这是一棵树，所以并不需要什么高深的算法，只要简单的BFS 即可。

最短路径的应用：

Dijkstra 算法应用：

Folyed 算法应用：

Bellman-Ford 算法的应用：

差分约束系统的应用：

搜索算法

搜索对象和搜索顺序的选取最为重要。一些麻烦题，要注意利用数据有序化，要找一个较优的搜索出发点，凡是能用高效算法的地方尽量争取用高效算法。

基本的递归回溯深搜，记忆化搜索，注意剪枝：

广搜（BFS）的应用：

枚举思想的应用：

ZOJ 1252 island of logic

A*算法的应用：

IDA*算法的应用，以及跳跃式搜索探索：

限深搜索，限次：

迭代加深搜索：

部分搜索+高效算法（比如二分匹配，动态规划）：

ZOJ milk bottle data:

剪枝优化探索：

可行性剪枝，最优性剪枝，调整搜索顺序是常用的优化手段。

动态规划

动态规划最重要的就是状态的选取，以及状态转移方程，另外还要考虑高效的预处理（以便更好更快的实现状态转移）。最常用的思想就是用枚举最后一次操作。

状态压缩DP，又叫带集合的动态规划：题目特点是有一维的维数特别小。

类似TSP问题的DP：

状态划分比较困难的题目：

树形DP：

四边形不等式的应用探索：四边形不等式通常应用是把O(n^3)复杂度O(n^2)

高档数据结构的应用

并查集的应用：

巧用并查集中的路径压缩思想：

堆的利用：

线段树的应用：

总结用线段树解题的方法

根据题目要求将一个区间建成线段树，一般的题目都需要对坐标离散。建树时，不要拘泥于线段树这个名字而只将线段建树，只要是表示区间，而且区间是由单位元素(可以是一个点、线段、或数组中一个值)组成的，都可以建线段树；不要拘泥于一维，根据题目要求可以建立面积树、体积树等等

树的每个节点根据题目所需，设置变量记录要求的值

用树形结构来维护这些变量：如果是求总数，则是左右儿子总数之和加上本节点的总数，如果要求最值，则是左右儿子的最大值再联系本区间。利用每次插入、删除时，都只对O(logL)个节点修改这个特点，在O(logL)的时间内维护修改后相关节点的变量。

在非规则删除操作和大规模修改数据操作中，要灵活的运用子树的收缩与叶子节点的释放，避免重复操作。

Trie的应用：；

Trie图的应用探索：

后缀数组的应用研究：

在字符串处理当中，后缀树和后缀数组都是非常有力的工具，其中后缀树了解得比较多，关于后缀数组则很少见于国内的资料。其实后缀数组是后缀树的一个非常精巧的替代品，它比

后缀树容易编程实现，能够实现后缀树的很多功能而时间复杂度也不太逊色，并且，它比后缀树所占用的空间小很多。

树状数组的应用探索：；

计算几何

掌握基本算法的实现。

凸包的应用：；

半平面交算法的应用：；

几何+模拟类题目：几何设计好算法，模拟控制好精度。

扫描法：；

转化法：ZOJ 1606 将求所围的格子数，巧妙的转化为求多边形的面积。

离散法思想的应用：；

经典算法：找平面上的最近点对。

贪心

矩形切割

二分思想应用

活用经典算法

利用归并排序算法思想求数列的逆序对数：

利用快速排序算法思想，查询N个数中的第K小数：

博弈问题

博弈类题目通常用三类解法：第一类推结论； 第二类递推，找N位置，P位置； 第三类SG函数的应用。第四类极大极小法，甚至配合上αβ剪枝。最难掌握的就是第四类极大极小法。

第一类：推结论。典型题目：

第二类：递推。典型题目：

比如有向无环图类型的博弈。在一个有向图中，我们把选手I有必胜策略的初始位置称为N位置(Next player winning)，其余的位置被称为P位置(Previous player winning)。很